抽象函數(shù)習(xí)題精選精講-在線(xiàn)瀏覽
2025-05-12 02:32本頁(yè)面
【正文】 二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問(wèn)題：例7 已知,對(duì)一切實(shí)數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。例8：奇函數(shù)在定義域（1，1）內(nèi)遞減，求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍。例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿(mǎn)足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，則， 即，∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)?！?，∴， 即，解得不等式的解為－1 a 3。求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。解：（1）令y＝0代入，則，∴。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對(duì)任意x，f（x）＞0恒成立。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。（2）假設(shè)時(shí)有，則x＝k＋1時(shí)，∴x＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確。對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）＝0，f（9）＝2。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）分析: 由題設(shè)條件可猜測(cè)y＝f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）解：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）g（b）。例己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；③當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，∴在定義域中。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（
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