抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-在線瀏覽
2025-05-12 02:32本頁面
【正文】 右消去律,根據(jù)(1),是一個群. 注 宜將這道題表述成“證明:在不計循環(huán)置換的順序的意義下,表達(dá)式是唯一的”.證明 顯然,當(dāng)是單位置換時,兩兩不相交,兩兩不相交,(): ,存在(),使得,.,并且,從而,.由于兩兩不相交,兩兩不相交,并且不計循環(huán)置換的順序,不妨設(shè),.假設(shè),則,由此可見,當(dāng)時,和是同一個表達(dá)式.167。2習(xí)題第17題.17．,證明:是交換群.證明 我們有,.由上題知,是交換群.,證明:與具有相同的階.證明 注意到,根據(jù)第6題的結(jié)論,與具有相同的階.,.假設(shè)的階與的階互素,證明:.證明 令,.由于,我們有,從而,.因為與互素,.由于與互素,即.,是的子群,證明:存在使.證明 眾所周知,.當(dāng)時,并且,在和中,一個是正數(shù),我們有,.現(xiàn)在考察任意的:眾所周知,存在整數(shù)和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數(shù),必有,從而,..,證明: 不是的子群.證明 由于不包含于且不包含于,是的子群,.假設(shè),則,.這樣一來,.所以不是的子群.,是的一個子群鏈,證明:是的子群.證明 ,存在正整數(shù)和使得,.令..由于是的子群,因此,從而,.所以是的子群.:()是的一個生成集.證明 考察任意的對換:若或,則.若且,則.這就是說,對于每一個對換,要么它本身屬于,從而,.167。由知,存在,從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當(dāng)時,當(dāng)時.綜上所述,對于任意的,.,和是的兩個子群,證明:的充要條件是.證明 ,我們有,從而,.,從而,.這樣根據(jù)第3題的結(jié)論可以斷言,即.,證明:有且僅有兩個生成元.證明 由于是無限循環(huán)群,也是的一個生成元,因此存在,因此存在,.,和是的兩個子群,證明:的充要條件是.證明 當(dāng)時,顯然.,當(dāng)時,從而,.,存在,使得。5 正規(guī)子群與商群:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群.證明 設(shè)是循環(huán)群,我們有.這就表明,是循環(huán)群.,是的一族正規(guī)子群,證明:也是的正規(guī)子群.證明 眾所周知,我們有,.所以也是的正規(guī)子群.,是群的正規(guī)子群且,證明:對于任意的,都有.證明 對于任意的,由于是群的正規(guī)子群,從而,。3習(xí)題第3題知,:,.,由于的任意性,是的正規(guī)子群.,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 (1),對于任意的,我們有存在和,使得存在和, .所以.,存在和,使得,.因此.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來,由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規(guī)子群,我們有.這樣,根據(jù)(1),是的子群.(3)根據(jù)(2),還有,.所以是的正規(guī)子群.,和是的子群且,證明:.注 證明這道題時還要用到如下約定:,.此外,這道題與167。6 群的同構(gòu)與同態(tài),是群到群的同構(gòu),證明:是群到群的同構(gòu)。(2)若是的正規(guī)子群且,則.證明 (1),是的正規(guī)子群。5習(xí)題中第8題類似,這道題也宜安排在167。有且僅有一個,使得。5習(xí)題第3題可知,.因此,從而,.,是群,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯然,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.,證明:.證明 對于任意的和任意的,對于任意的,注意到是不同的素數(shù),我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:,即且,從而,.,顯然 .,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.167。6習(xí)題第5題,我們有.第二章 環(huán) 論167。(6),其中為整數(shù)。(6)中應(yīng)加進“和為中的任意元素”。1知,.2．令,證明關(guān)于實數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).證明 顯然,是一個交換群。.(驗證過程從略.),定義,.證明:關(guān)于這樣定義的和構(gòu)成一個環(huán).證明 簡單的數(shù)學(xué)分析知識告訴我們,是一個交換群。.,其中,的表格稱為環(huán)上的矩陣(或階方陣).,可以定義環(huán)上的矩陣的加法和乘法,證明:,如果存在,使得,則稱是可逆的,稱是的一個逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為.證明 完全類似于數(shù)域上矩陣,容易驗證上的加法適合結(jié)合律和交換律(從略).令表示所有元素都為的零元的階方陣。 。.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙?！选?。從而, ⊙⊙⊙。(2)若,則()(費馬定理).證明 (1)顯然,因此.其次,.因此,從而,.這表明,:由可知,存在,從而,并且.這就表明,半群中每個元素都有逆元. 所以關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個群. (2)首先,我們注意,.,.,從而,.所以().167。4習(xí)題第5題可知,.其次,顯然,且,從而,眾所周知,存在,從而,.所以..注 :設(shè)是一個環(huán),是的一個理想.(1)若是的一個理想且,則是的理想。3習(xí)題第13題,是加群的子群.其次,設(shè),.于是,存在正整數(shù),因此,從而,.所以是的理想.,令是多項式環(huán)中所有系數(shù)在中的多項式組成的集合,證明:是的一個理想.證明 顯而易見,對于任意的和任意的,我們有,.由于是環(huán)的一個理想,因此,.由此可見,.所以環(huán)的一個理想.,證明:的理想只有和.注 本題中的是指2階零矩陣.證明 考察環(huán)的任意一個非零理想:任取非零矩陣.,對于任意的,.,.于是,存在可逆矩陣(),使得().因為是的理想且,由以上四式可知().這樣一來,注意到是的理想,對于任意的,我們有.由此可見,.綜上所述,可以斷言,的理想只有和.167。6習(xí)題第1題,故對于任意的總有,從而,.所以是環(huán)到環(huán)的同構(gòu)..
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