線性代數(shù)第3章習(xí)題解答(rr)-在線瀏覽
2025-05-12 07:09本頁(yè)面
【正文】 2) 當(dāng)時(shí)，線性無關(guān)證明： (1)當(dāng)時(shí)，線性相關(guān)。 (ii) 若線性相關(guān)，不妨設(shè)，于是： 由此可知，線性相關(guān)。12. 設(shè)是一組n維向量，證明：它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量都可由它們線性表示。 充分性：若任一n維向量均可由向量組線性表示，則n維單位坐標(biāo)向量組可由線性表示，又可由線性表示，∴向量組與向量組等價(jià)，∴向量組的秩是n，∴線性無關(guān)。 證： 設(shè)向量組的秩為r，不失一般性，設(shè)(r1r)為向量組的極大無關(guān)組，則與等價(jià)，依題設(shè)向量組的秩也為,故也是的極大無關(guān)組，可由線性表示，進(jìn)而，可由線性表示。(1) 證明：若線性相關(guān)，即存在不全為零的常數(shù)，使從而有：不全為零，線性相關(guān)。如當(dāng)A=E，則線性無關(guān)，若A=0，則線性相關(guān)。18. 選擇和填空(1) 設(shè)A是n階方陣，方程組AX=0有無窮多解，則方程組 . (c)a . 只有零解 b .有n個(gè)解 c .有無窮多解 d .無解(2) 設(shè)A,B均為n階方陣，且，則方程組AX=0與BX=0的非零解的個(gè)數(shù)之和為 (0)(3) 設(shè)為實(shí)數(shù)，如果齊次線性方程組有非零解，則(1或3)(4) 設(shè)A為n階方陣，如果方程組AX=b有唯一解，則A一定(b，d) a . 奇異 b . 非奇異 c . a，b都有可能 d .滿秩19. 求下列方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.(1) 解： 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換得到 故 同解方程組： 依次取 得基礎(chǔ)解系 .方程組的通解： ，其中為任意實(shí)數(shù).(2) 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換得到 ∴ 同解方程組， . 依次取自由未知量的值得方程組的基礎(chǔ)解系： ，方程組的通解為： ，其中為任意實(shí)數(shù).(3) 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換得到： 故同解方程組： 取 得到方程組的通解： 其中， 為任意實(shí)數(shù)。21. 設(shè)A是矩陣，B是矩陣，其中。22. 設(shè)A是矩陣，且，證明： A中必有一列向量是其余列向量的線性組合。(1) 解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換得到 ，所以原方程組的同解
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