圓錐曲線與方程知識點總結(jié)-在線瀏覽
2025-05-10 06:21本頁面
【正文】 212解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去. 故所求橢圓的方程為x2y2+=1. 4520法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一) （2）由焦半徑公式： | PF1 |＝a＋ex＝3＋| PF2 |＝a－ex＝3－125355353＝4 3＝212∴ SDPF1F2＝| PF1 |2(ar)=ar. 22故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相運用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理，使題目得證。gt。gt。y2=4x解方程組237。x=1由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對稱，∴19\所求圓的方程為(x+)2+(y2=.…………………………8分24（3） 由點F,0),F2(1,0) 1(1①若AB垂直于x軸，則A(1,22),B(1,)， 22|FC|CD|1|，∴A(1, ． …………2分 ==|F1A|=22|F1A||AB|11222+=1又ab=c=1， 22a2b11+=1，解得b2=1并推得a2=2． 22b+12b \F2A=(2,uuuurruuuuF2B=(2,， 22∴uuuuruuuur17F2AF2B=4=…………………………………………9分22②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為 y=k(x+1)因此，x22故橢圓的方程為+y=1 ． …………4分2（2）Qa=b=1,c=1，236。2 得 (1+2k2)x2+4k2x+2(k21)=0 2238。0,1+2k2179。11+2k2整理，得(1+k2)x2++1=0. ①2因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 D=8k24(1+k2)=4k220，解得k或k.2∴ 滿足條件的k的取值范圍為k206。,77\F2F2206。) uuuruuur（3）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則OP+OQ＝（x1+x2，y1+y2),由①得x1+x2=. ② 又y1+y2=k(x1+x2)+ ③ uuuur因為M)，N(0, 1)，所以MN=(1).……… uuuuruuuruuur所以O(shè)P+OQ與MN共線等價于x1+x2y. 1+y2)uuuruuur（3）已知點M，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQuuuur與MN共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.解：(Ⅰ) 設(shè)C（x, y）,∵AC+BC＋AB=2+AB=2, ∴AC+BC=2,∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點.將②③代入上式，解得k.ruuuruuuruuuu所以不存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與MN共線.例4. 已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為F，過左準(zhǔn)線與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交∴a c=1. ∴ b=ac=1.于不同的兩點A、B，點A關(guān)于x軸的對稱點為C.2∴ W: x+y2=1 (y185。R)；（3）求DMBC面積S的最大值. 4x2y2解：（1）設(shè)橢圓W的方程為2+2=1，由題意可知ab236。a239。222237。2a239。c238。y=k(x+3),239。xy2=1239。由直線l與橢圓W交于A、B兩點，可知D=(18k2)24(1+3k2)(27k26)0，解得k2設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2), 則x1+x2=2． 3|FB|x2+3|y2|, ==|FC|x1+3|y1|uuuruuur所以B，F(xiàn)，C三點共線，即CF=lFB．…………………………………10分(3)由題意知18k27k6xx=，y1=k(x1+3)，y2121+3k21+3k222S==11|MF||y1|+|MF||y2| 221|MF||y1+y2| 21|k(x1+x2)+6k| 2因為F(2,0)，C(x1,y1)，uuuruuur所以FC=(x1+2,y1)，F(xiàn)B=(x2+2,y2). 5= 1．雙曲線的兩種定義 (1) 平面 常數(shù)(小于 )的點的軌跡叫做雙曲線．注：①當(dāng)2a＝|F1F2|時，p． ②2a＞|F1F2|時，p點軌跡不存在．(2) 平面 時動點P的軌跡是雙曲線．設(shè)P到F1的對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，到F2對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d2，則2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) 標(biāo)準(zhǔn)方程：2(6) 具有相同漸近線y=177。e=b180。y206。e越大，雙曲線e越小，雙曲線開口越 ，焦準(zhǔn)距P＝ ．(5) 焦半徑公式，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若P(x0,y0)是雙曲線右支上任意一點，PF1=PF2=P(x0,y0)是雙曲線左支上任意一點，PF1=PF2= ．變式訓(xùn)練1：根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。x 解：法一：（1）雙曲線91634令x=3，y=177。gt。gt。b4239。 237。=122239。a236。a=4 解之得：237。b2=4238。gt。lt。與雙曲線22=1共焦點的雙曲線為aby2x222（a+kamp。0，bkamp。0）。 例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55 ，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.解：如圖8—17，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A圓的直徑AA′在x軸上，x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為944x2y2（2）設(shè)雙曲線方程為22=1（aamp。0，bamp。0）ab236。則 237。2b238。239。2239。b=8x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為128x2y2=l（λ≠0） 法二：（1）設(shè)雙曲線方程為916上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且CC162。=252 (m).設(shè)雙曲線的方程x2y2為22=1 （aamp。0,bamp。0）令點C的坐標(biāo)為（13，y），則點B的坐標(biāo)為（25，y－55）.ab252(y55)2132y2=1,22=1. 因為點B、C在雙曲線上，所以212b212b (3)2(2)2=l ∴ 9161∴ l=4x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為944230。y2x2=1231。4+k0247。 16k4+k232。(3)222=1 ∴16k4+k 8236。25239。由方程（2）得 y=2212239。238。2=680, 即2a=680,a==800,∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.236。a=,239。2a=1,237。c239。238。gt。gt。4=2，即A
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