【正文】 軸上 (, 0)， (?, )為根軌跡段。 (4) 起始角與終止角： 23422112( 2 1 ) π ( ) ( )( 2 1 ) π 19 59 108 .5 90 3779p j ijiik p z p pk????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????同理，開環(huán)極點 p3處的起始角： 3 79p? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 23422112( 2 1 ) π ( ) ( )( 2 1 ) π 117 90 153 199 121 149 .5z j ijijk z z z pk????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????開環(huán)零點 z2處的終止角： 同理，開環(huán)零點 z3處的終止角： 3 14 ? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 例 負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試作 K(由 0??)變動的系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 j12 1 2 1 2 Op2 p1p3*( ) ( )( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s???自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (2) n = 3 ， 根軌跡有 3條分支； (3) K = 0時 ，根軌跡起始于 p1 ， p2 ， p3 K ? ? 時，皆趨于無窮遠處； (4) 實軸上的根軌跡區(qū)段： (1, 0)， (?, 2) j12 1 2 1 2 Op1p2p3自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 j12 1 2 1 2 Op1p2p3(5) 漸近線 ： ? ?a11a( 2 1 ) π ( 2 1 ) π30π / 3, π0 ( 1 ) ( 2 )130nmijijkknmpznm???????????????? ? ? ?? ? ????自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (6) 分離點 sd： 由公式 11dd11nmij ijs p s z???????j12 1 2 1 2 Osdp1p2p31 1 1 012d d ds s s? ? ???解之，得 sd = , sd = (舍掉 ) 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (7) 分離角： j12 1 2 1 2 Osdp1p2p3d π /2? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (8) 根軌跡與虛軸交點坐標即臨界增益： 令 s = j? ， 代入特征方程 將實部和虛部分別寫成方程式 3 2 *3 2 0s s s K? ? ? ?3 2 *2 * 3( j ) 3 ( j ) 2 ( j ) 0( 3 ) j ( 2 ) 0KK???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2*33020K???? ? ? ?? ? ? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 解之，得 j12 1 2 1 2 Osd22?p1p2p3*0 , 20 , 6K? ???所以，與虛軸交點坐標為 臨界增益 1 , 2 j2s ??3K ?自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1123412j012自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 解： (1) 開環(huán)極點： p1= 0， p2= 3， p3,4= 1 ? j 無開環(huán)零點 。 2() ( 3 ) ( 2 1 )KGss s s s? ? ? ?自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 j1 1 1 2 O 3p1p2p3p4自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (4) 實軸上的根軌跡區(qū)段： (3, 0) 1 1 1 2 O 3p2 p1p3p4j自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (5) 漸近線： ? ?a11a( 2 1 ) π ( 2 1 ) ππ / 4 , 3 π /4400 ( 3 ) ( 1 j ) ( 1 j )40nmijijkknmpznm??????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????????自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5p2p3p1p4j自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (6) 分離點坐標 sd： 解之，得 sd = sd = ? j (舍掉 ) 由公式 11dd11nmij ijs p s z???????d d d d1 1 1 1 03 1 j 1 js s s s? ? ? ?? ? ? ? ?32ddd4 15 16 6 0sss? ? ? ?自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sdp2p3p4p1j自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (7) 分離角： d π /2? ??1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sdp2p3p4p1j自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (8) 起始角： 11( 2 1 ) π ( ) ( )kmnp k j k ijikk p z p p????? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ?3 3 1 3 2 3 418 0 ( ) ( ) ( )18 0 13 5 26 .6 90 71 .6p p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 71 .6p? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sd7 1 . 6?7 1 . 6jp2p3p4p1自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (9) 根軌跡與虛軸交點坐標及臨界增益： 令 s = j? ， 代入特征方程 將實部和虛部分別寫成方程式 解之，得 2*( 3 ) ( 2 2 ) 0s s s s K? ? ? ? ?24 2 3( j ) ( j 3 ) ( j ) 2 ( j ) 2 0( 8 ) j ( 5 6 ) 0KK? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?423805 6 0K????? ? ? ?? ? ? ??0 , 0 , ? ? ? ?自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 所以，與虛軸交點坐標為 臨界增益 1 , 2 j1. 1s ?? ?1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sd7 1 . 6?7 1 . 6jp2p1p3p41 . 1 1 . 1自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1 21234123123j 0 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (10) 求 K= ： 利用根之和與根之積的關(guān)系式，得到 1 2 3 41 2 3 40 3 1 1 58 . 1 6s s s ss s s s K? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???已知 s1,2 = ? 那么 s3,4 = ? 自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 例 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 試證明 K 從 0 ? ? 變化時的閉環(huán)根軌跡其復(fù)數(shù)部分為圓，并求圓的半徑和圓心。這在數(shù)學上是可以嚴格證明的。 一、增加開環(huán)極點的影響 (1) 改變了根軌跡在實軸上的分布； (2) 改變漸近線的條數(shù)，方向角及與實軸的交點； (3) 一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。 0 22( 1 )( ) ( )( 2 ) ( 2 )K K sG s G ss s s s?? ? ???自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 0 2() ( 2 )KGsss? ?自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1123j01231232( 1 )()( 2 )KGssss? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1123j01231230 . 5 2( 0 . 5 )()( 2 )KGssss? ??自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 11234567812j0123( 4 )( ) ( )( 2 ) ( 2 )KKG s G ss s szs??????自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 11234512012j ( 3 )( ) ( )( 2 ) ( 2 )KKG s G ss s szs??????自動控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1 2 1 1 0 j ( 1 )( ) ( )( 2 )