多元線性回歸課件-在線瀏覽
2025-03-09 03:41本頁面
【正文】 ???????? nxnxnxnlnxnxnxxnxnixxii22221)(1 故： ?? CB?????????? ??????????????????????xxxyiiixxllxyyxynnxnxnxnl /?1 12? 例 下面的模型稱為 t 元中心化線性回歸模型： 0 1 1 12( ) ( )~ ( 0 , )i i t it t iiy x x x xi i d N? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????各ni ,2,1 ?? 寫出模型相應的 矩陣 , , , ,X Y A B C ，并求出模型參數(shù)的 最小二乘估計。 ??? YXB??????????????tyyllyn?1， 其中：jyl ?????niijijyyxx1))((,tj ,2,1 ??。其中：XXXXH ??? ? 1)(為方陣，其元素記為}{ ijh，顯然， H 是對稱并且冪等矩陣。 ? ?( ) ( ) ( )SS E Y Y Y Y Y I H Y??? ? ? ? ?為殘差平方和。 性質(zhì)一 ??是?的線性無偏估計，且 ??21? ()V ar X X?? ????? ?證明：因YXXX ??? ? 1)(?? 是 Y 的線性函數(shù)，故為線性估計。 1 2 1? ( ) ( ) ( )Va r X X X D Y X X X X X?? ??? ? ? ??? 性質(zhì)二 0?Ee , 2 ( 1 )V are H??? 證明：由于YHe )1( ??, 故有： 0)1()1( ????? ?XHEYHEe 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )V a re H V a rY H H H?? ?? ? ? ? ? ? ? 從上述性質(zhì)可知，殘差向量的各分量之間一般也是相關(guān)的。在?為正態(tài)分布時，由于e與?? 均服從正態(tài)分布，故 e 與?? 獨立。 A 是 kk? 的方陣，那么，矩陣跡1[]kiiitr A a?? ? ? [ ] [ ]t r a A a t r A?； ? [ ] [ ]t r A t r A? ? ? [ ] [ ] [ ]t r A B t r A t r B? ? ? ? [ ] [ ]tr A B tr B A? 性質(zhì)四 2( ) ( 1 )E SSE n t ?? ? ? 證明：利用矩陣跡的性質(zhì)及( ) 0I H X??可知 ( ) ( ( ) )E SSE E Y I H Y??? ( ) ( ) ( )E Y X I H Y X???? ? ? ? =[ ( ) ( ) ( ) ]Etr I H Y X Y X?? ?? ? ? DYHtr )1( ?? )1(2 Htr ?? ? 21[ ( ( ) ) ]tr I tr X X X X? ???? ))])(([ 12 XXXXtrn ???? ?? )( 12 ??? tt r In? )1(2 ??? tn? 注： 由這一性質(zhì)可知：12??? tnSSEs 是2? 的無偏估計。 證明：（ 1 ）YXXX ????? ? 1)(? ??? 是 Y 的線性函數(shù)，所以是線性估計。 （ 3 ） 為證?? ??是?? ?的一切線性無偏估計中的方差最小者，可設(shè)Yl?為?? ?的一個線性無偏估計，即對一切?有??? ????? XlYlE, 從而必要：? ???Xl, 又 ?????? 122 )()?()( ????????? XXllDYlD ])([ 12 lXXXXlll ?????? ?? 由于)1(2 H??是e的協(xié)方差矩陣，故必要為非負定矩陣，從而對一切n維向量l有 0)1( ??? lHl, 即?? ??是?? ?的一切線性無偏估計中方差最小者。 下面一個性質(zhì)在假定),(~ 2 nn IXNY ??條件下討論。下面證明性質(zhì)（ 3 ）。所以必存在正交陣C使 ???????????0001tJCCH 其中：?????????????111ttJ??? 0?i?,1,2,1 ?? ti ?。 167。否則Ey應隨txxx , 21 ?的變化而作變化，所以有必要對回歸方程作顯著性檢驗。 由上一節(jié)性質(zhì) 6 的證明可知：)1(~22?? tnSSE??。由上述討論構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量： ( 1 )S S R tFS S E n t??? 當0H為真時，)1,(~ ?? tntFF。而對一般情形， 2?tS S R ?? 。 回歸系數(shù)的顯著性檢驗 當回歸方程的顯著性檢驗得出拒絕0H時，我們并不能說明所有的ix均與y有線性相關(guān)關(guān)系，而只僅僅說明至少有一個ix與y有線性相關(guān)關(guān)系，而對 有些0?j?時，說明相應的的變量jx與y的變化無關(guān)，即不會引起Ey的線性變化，為了使方程簡單明了，我們應把jx從方程中去掉。 0:0: 10 ??? jjjj HH ?? 當數(shù)據(jù)中心化時，有：???????????????t???????1?，相應的相關(guān)矩陣為???
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