【正文】 mvC Cw2 ? J JC C ? Rw ? mR2 ， v T ? m(v?rw)2 ? JCw2 理論力學(xué) 16 1 2 1 2 2 1 2 2 3 4 mvC T ? 1 1 2 2 1 2 1 2 2 vC ? Rw?v 均質(zhì)圓盤(pán)在平板上 作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 w v C vC C vC 均質(zhì)圓盤(pán)在地面上 作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 w ? TA A 2 JP ml 2 w 1 mvA 1 JP AB A mv 2 6sin 3 理論力學(xué) 17 3 Mv 4 P為 AB桿的瞬心 vA wΑΒ ? lsin? 2 2 2 TAB 2 1 12 T 9M 4m vA vA PA w?? 1 3 解： T ?TA ?TAB [例 ] 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下 端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相 連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為 vA，桿與水平線(xiàn) 的夾角 ?=450，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 解：取出微段 dr到球鉸的距離為 r，該微段的速度是 v ?O 1B?w ? rwsin? 微段的質(zhì)量 l g 1 2 2 2 2gl 桿 OA的動(dòng)能是 2 l l sin2? ?dr ? 2gl 6g 0 0 O1 O2 此動(dòng)能與重量為 P繞鉛垂軸以 w 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 O2A桿動(dòng)能一樣 ! TA A A ? 1 mb2w2 ? mv TB B B 2 ? 1 3mb2w2 O1 [例 ]求橢圓規(guī)的動(dòng)能，其中 OC、 AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為 m和 2m，長(zhǎng)為 b 和 2b，滑塊 A和 B質(zhì)量均為 m，曲柄 OC的角速度為 w， j =60176。首先 對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析， O1是 AB的速度瞬心，因 : vC ?O 1C?wAB ?OC?w ?wAB ?w 3 TOC Ow ? mb2w2 ? J ? ?2m?(2b)2 ?2m?b2 ? mb2 TAB O1wAB ? mb2w2 ? J 理論力學(xué) 20 T ?TA ?TB ?TOC ?TAB 1 3 1 4 7 2 2 6 3 2 對(duì)于曲柄 OC： JO ? 1mOCb2 ? 1mb2 3 1 2 1 2 6 AB作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式 求動(dòng)能： JO1 ? JC ?mAB ?O1C2 1 8 12 3 1 2 4 2 3 系統(tǒng)的總動(dòng)能為： O1 A B O vC w j C vB vA wAB vC ? vA ?vCA ?2vAvCA cos(180 ?j) ? vA ?(1lw)2 ?2vA 1lwcosj ? vA ? 14l w ?lwvA cosj 則桿的動(dòng)能 T ? 1 mvC ? 1 JCw2 ? 1 m(vA 4 A cosj)? 1 (12 ml2)w2 ? 1l2w2 ?lwv 理論力學(xué) 21 vC ?vA ?vCA 速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ? 1 m(vA ? 1l2w2 ?lwvA cosj) [例 ]如圖滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì) 量為 m，長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)桿 AB，桿以角速度 w 繞 A轉(zhuǎn)動(dòng)。 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心 C的速度為 j vA w A B vA vCA vC vA B A j C w ? F 牛頓定律 d(v ?v) ?d( mv2) d( mv2) ? dW ? mv ?W 理論力學(xué) 22 一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 m 1 2 2 mdv ?v ? 1 2 因此 動(dòng)能定理的微分形式 將上式沿路徑 M1M2積分，可得 1 2 1 2 mv2 1 12 2 2 動(dòng)能定理的積分形式 dv dt ?dr ? F ?dr dv m dt 兩邊點(diǎn)乘以 dr，有 m M1 M2 M v F a 167。 2 2 二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) Mi ： m m ? P?? k(d 2 ?d ?W 12 1 2 2) ?30??? ?3000?[02?(? 2)2] T 1 ? ? ?30? 0 2 ， T2?0 ? 0? ? ? 理論力學(xué) 24 解：研究 OA桿 1 2 1 2 ??(J) 1 1 2 2 3 由 T2 ?T 1 ? ?W 12 2 w0 ? [例 ]圖示的均質(zhì)桿 OA的質(zhì)量為 30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。 [例 ]兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示； AB桿質(zhì)量是 OA桿質(zhì)量的兩 倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng) OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂 位置時(shí)， AB桿 B端的速度。初始鏈條靜止，在自重的作 用下運(yùn)動(dòng)。 解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 T 1 ? 0 1 2 ?lv2 T2 ? 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為 1 1 2 2 ?g(l2 ?b2) ? 由 T2 ?T 1 ? ?W 12 JBw2 ? ( ml2)w2 ? ( ?10? )w2 ? ?m ? mg( cos30 ? )? k(d 2 ?d ?W12 1 2 2) ? )? ?360( ? ) ? N?m w ? ? s 27 當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，其速度瞬心為桿端 B， 設(shè)此時(shí)桿的角速度為 w，則系統(tǒng)的動(dòng)能為 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 T2 ? [例 ]圖示機(jī)構(gòu)，均質(zhì)桿質(zhì)量 m＝ 10kg，長(zhǎng)度 l＝ 60cm，兩端與不計(jì)重量的 滑塊鉸接，滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動(dòng)，彈簧的彈性系數(shù)為 k=360N/m。然后無(wú)初速釋放，求當(dāng)桿到達(dá) 鉛垂位置時(shí)的角速度。假設(shè)兩桿與光滑地 面的夾角 ? =60186。 時(shí) AB桿的角速度。 時(shí) O點(diǎn)與 A點(diǎn) 重合，即此時(shí) A為 AB桿的速度瞬心，所以 T 1 ? 0 1 1 1 P 2 2 2 2 3 g lsin? ? 重力作功 WP ? 2P? k(d1 2 ) ? k[0?(l ? ) ]? ? kl ?d w l ? Fl ? Pl ? kl W ? kl)/ 理論力學(xué) 29 主動(dòng)力作功 WF ? Fs ?F(2l ?2l cos?) ?Fl 1 3 Pl 2 2 1 2 2 1 l 2 1 2 2 2 2 8 彈性力作功 WE ? 3 1 2 2 8 由動(dòng)能定理的積分形式得： 1 P 22 3 1 2 3 g 2 8 3 1 1 W 2 8 3 g w ? (P? l ? 因?yàn)橄到y(tǒng)屬理想約束，所以約束力不作功，作功的力有 主動(dòng)力 F，重力 P和彈性力，分別求得如下： A C B D ? F P P JO Bw2 w2 ? J T2 ? ? ( ml2)w2 ? ( ml2)w2 ? ml2w2 理論力學(xué) 30 為桿 AB的速度瞬心，因此輪 B的角速度 為零， vB=0。 求連桿 OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度。 解：分析系統(tǒng)，初瞬時(shí)的動(dòng)能為 T1=0 設(shè)連桿 OA運(yùn)動(dòng)的角速度為 wOA，由于 OA=AB，所以桿 AB作平面運(yùn)動(dòng)的角速度 wBA?wOA。如果重物 A開(kāi)始時(shí)向下的速度為 v0，試問(wèn) 重物 A下落多大距離，其速度增大一倍。重物