數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)-在線瀏覽
2025-03-07 18:42本頁面
【正文】 A Ax A xxAB AB x A BxA Bx A B xAB） 對(duì) 任 意 維 非 零 向 量 ,有 即 故 有 nvvv v vRAA x A x???nn設(shè) 是 中 的 向 量 范 數(shù) ， 則 為 R 上 的 矩 陣且 滿 足定范 數(shù)理矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性 相容性 例 5: 設(shè) A＝ (aij)∈M. 定義 2,11|| || | |nijijAan ?? ?證明 ： 這樣定義的非負(fù)實(shí)數(shù)不是相容的矩陣范數(shù) . 證明：設(shè) 1 1 1 1,1 1 1 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2222AB ??? ????|| || 1 , || || 1 , || || 2A B AB? ? ?從而 || || || || || ||AB A B?定理 4： 設(shè) n 階方陣 A = (aij)n?n，則 （ Ⅰ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 1x??? niijj aA11m a x（ Ⅱ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 2x12 ??A其中 ?1為矩陣 ATA的最大特征值。 可以證明 , 對(duì)方陣 和 ，有 nnRA ?? nxR?22|| || || || || ||FAx A x??? ?? ??ninjijF aA1 12|||||| (向量 || 3．矩陣 的范數(shù)與特征值之間的關(guān)系 定理 5： 矩陣 A 的譜半徑不超過 A的任一相容矩陣范數(shù)，即 定義 4： 矩陣 A 的諸特征值的最大絕對(duì)值稱為 A的譜半徑， 1( ) m a x iinA?????記為： ()AA? ?21m a x (iin A??? ?? 譜 范 數(shù) ）并且如果 A為對(duì)稱矩陣，則 注 :Rn n中的任意兩個(gè)矩陣范數(shù)也是等價(jià)的。 ||為 Rn n上的矩陣范數(shù)， A,B∈ Rn n 稱 ||AB||為 A與 B之間的距離 。 ( ) 1B? ?lim 0kk B?? ?4. 矩陣的條件數(shù) 定義 5 設(shè)矩陣 A 為非奇異矩陣，則稱 1()c on d ??A A A為矩陣 A 的 條件數(shù) ， 其中 ? 是矩陣的算子范數(shù)。 (3)若 ， 則 1?A 1)(c o n d ?? AA注 : cond (A) 與 所取的范數(shù)有關(guān) 常用條件數(shù)有： cond (A)2 )(/)( m i nm a x AAAA TT ???特別地，若 A 對(duì)稱，則 2m a x | | ( )m in | |iic o n d A ???cond (A)1 =‖ A‖ 1 ‖ ‖ 1 1?Acond (A)? =‖ A‖ ? ‖ ‖ ? 1?A167。 初等矩陣 定義 6 設(shè)向量 ,nRR???uv ，則形如 ( , 。 1,11( ) ( , 。 (4) iL左乘矩陣 A 的結(jié)果是從 A 的各行中減去第 i 行乘一個(gè)因子。 (2) 為單位下三角陣 ； Householder矩陣 定義 8 設(shè)向量 nR?? ， 且 2 1??
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1