【正文】 S ??? ? ? ? ? ?，① 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，② ②－①得 2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ?? ?? ? ? ? ? ? ?， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2nn n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 1111212221 212nnn??? ?? ? ? ?? 1236 2nn ???? ． 三、逆序相加法 把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣） 例 4（ 07 豫南五市二聯(lián)理 22.）設(shè)函數(shù) 222)( ?? x xxf的圖象上有兩點(diǎn) P1(x1, y1)、 P2(x2, y2)，若 )(21 21 OPOPOP ?? ,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 . （ I）求證： P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值； 5 （ II）若 。 6 例 5 求數(shù)列 ?????????? ,11,32 1,21 1 nn的前 n 項(xiàng)和 . 解：設(shè) nnnna n ?????? 111 （裂項(xiàng)） 則 1132 121 1 ??????????? nnS n （裂項(xiàng)求和） ＝ )1()23()12( nn ?????????? ＝ 11??n 例 6（ 06 高考湖北卷理 17）已知二次函數(shù) ()y f x? 的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為39。 （Ⅰ）求數(shù) 列 {}na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 11nnnb aa?? ， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得 20nmT? 對(duì)所有 nN?? 都成立的最小正整數(shù) m； 解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù) f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 , b=－ 2, 所以 f(x)＝ 3x2－ 2x. 又因?yàn)辄c(diǎn) ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上，所以 nS ＝ 3n2－ 2n. 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝（ 3n2－ 2n）－ ? ?)1(2)13 2 ??? nn（ ＝ 6n－ 5. 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 312－ 2＝ 61－ 5，所以， an＝ 6n－ 5 （ nN?? ） （Ⅱ）由（ Ⅰ）得知 13?? nnn aab ＝ ? ?5)1(6)56(3 ??? nn＝ )16 156 1(21 ??? nn ， 故 Tn＝ ??ni ib1 ＝ 21 ?????? ???????? )16 156 1(...)13171()711( nn＝ 2 （ 1－ 161?n ） . 因此，要使 21 （ 1－ 161?n ） 20m （ nN?? ）成立的 m,必須且僅須滿足 21 ≤ 20m ，即 m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 評(píng)析：一般地，若數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項(xiàng)也不為 0，則求和： ?? ?ni iiaa1 11 7 首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1則 ?? ?ni iiaa1 11= 1111 )11(1?? ?? nn aanaad。 五、分組求和法 所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 解析：（Ⅰ）由 12,12 11 ?????? ??? nnnn aSNnaS ， 兩式相減得： ,22 11 nnn aaa ?? ?? 01.,2 11 ????? ?? nnn aaNnaa 知同， ,21 ?? ?nnaa同定義知 }{na 是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列 . （Ⅱ） ,22,2 11111 ????? ????? nnnnnnnn bbbba ?,2,2,2 234123012 ?????? bbbbbb ,2 21 ?? ?? nnn bb 等式左、右兩邊分別相加得： ,2221 213222 112101 ??????????? ??? nnnn bb ? nT nnn 2)2222()22()22()22()22( 12101210 ???????????????? ?? ?? = .122221 21 ?????? nn nn 例 8 求 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1 ) nSn ?? ? ? ? ? ? ?（ nN?? ） 解：⑴ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 ( 1 )( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 1 ) ] ( 1 2 ) 2nnS n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ⑵ 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) 1( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 2 ) ( 1 ) ] [ 1 2 ( 1 ) ] ( )22nnS n n n n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?綜 上所述， 1 1( 1) ( 1)2nS n n?? ? ?． 8 點(diǎn)評(píng)：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列 ,分別求和 . 六、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法 . 例 9 求 ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? 之和 . 解：由于 )110(9199 9 99111 1 111?????????? kkk ???????? 個(gè)個(gè) （找通項(xiàng)及特征） ∴ ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? ＝ )110(91)110(91)110(91)110(91 321 ??????????? n （分組求和） ＝ )1111(91)10101010(911321 ?? ??? ??個(gè)nn ??????????????? ＝ 9110 )110(1091 nn ???? ＝ )91010(811 1 nn ??? 例 10 已知數(shù)列 {an}： ??? ?????? 1 1 ))(1(,)3)(1(8n nnn aannna 求的值 . 解：∵ ])4)(2(1)3)(1( 1)[1(8))(1( 1 ????????? ? nnnnnaan nn （找通項(xiàng)及特征） ＝ ])4)(3(1)4)(2( 1[8 ?????? nnnn （設(shè)制分組） ＝ )4131(8)4121(4 ???????? nnnn （裂項(xiàng)） ∴ ????????? ? ?????????? 111 1 )4131(8)4121(4))(1(nnn nn nnnnaan （分組、裂項(xiàng)求和） ＝ 418)4131(4 ???? 9 ＝ 313 類型 1 )(1 nfaa nn ??? 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )(1 nfaa nn ??? ，利用累加法 (逐差相加法 )求解。 解：由條件知： 111)1( 1121 ????????? nnnnnnaa nn 分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個(gè)等式累加之，即 )()()()( 1342312 ??????????????? nn aaaaaaaa )111()4131()3121()211( nn ???????????????? 所以 naan 111 ??? 211?a? ， nna n 1231121 ?????? 類型 2 nn anfa )(1 ?? 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )(1 nfaann ??，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。 解：由條件知 11 ??? nnaann，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個(gè)等式累乘之，即 1342312??????????? nnaaaaaaaa nn 1433221 ???????????? naan 11 ?? 又 321?a? ， nan 32?? 例 :已知 31?a ， nn anna 23 131 ???? )1( ?n ，求 na 。 類型 3 qpaa nn ???1 （其中 p， q 均為常數(shù)， )0)1(( ??ppq ）。 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 11?a ， 321 ??? nn aa ，求 na . 解：設(shè)遞推公式 321 ??? nn aa 可以轉(zhuǎn)化為 )(21 tata nn ???? 即 321 ?????? ttaa nn .故遞推公式為 )3(231 ???? nn aa ,令 3?? nn ab ，則 4311 ???ab ,且 23311 ???? ?? nnnn aabb .所以 ??nb 是以 41?b 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，則 11 224 ?? ??? nnnb ,所以 32 1 ?? ?nna . 變式 :遞推式： ? ?nfpaa nn ???1 。 （ 1 nnna pa rq? ??,其中 p， q, r 均為常數(shù)） 。 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 651?a , 11 )21(31 ?? ?? nnn aa ，求 na 。 解法一 (待定系數(shù)法 )：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 其中 s， t 滿足??? ???? qst pts 解法二 (特征根法 )：對(duì)于由遞推公式 nnn qapaa ?? ?? 12 ， ?? ?? 21 ,aa 給出的數(shù)列 ??na ，方程 02 ??? qpxx ，叫做 數(shù)列 ??na 的特征方程。 解法一（待定系數(shù) —— 迭加法） :數(shù)列 ??na ： ),0(0253 12 Nnnaaa nnn ????? ?? ， baaa ?? 21 , ，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 則數(shù)列 ? ?nn aa ??1 是以 ab? 為首項(xiàng)， 32 為公比的等比數(shù)列，于是 11 )32)(( ?? ??? nnn abaa 。把以上各式相加，得 12 ])32()32(321)[( 21 ??????????? nn abaa)(321)32(1 1abn?????。 解法二（特征根法）：數(shù)列 ??na ： ),0(0253 12 Nnnaaa nnn ????? ?? ， baaa ?? 21 ,的特征方程是： 0253 2 ??? xx 。又由 baaa ?? 21 , ，于是 ?????????????????)(32332 baB abABAbBAa故 1)32)((323 ????? nn baaba 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 11?a , 22?a , nnn aaa 3132 12 ?? ?? ，求 na 。 類型 6 遞推公式為 nS 與 na 的關(guān)系式。 例：已知數(shù)列 ??na 前 n 項(xiàng)和 22 14 ???? nnn aS .（ 1）求 1?na 與 na 的關(guān)系；（ 2）求通項(xiàng)公 式 na . 解：（ 1）由 22 14 ???? nnn aS 得： 111 2 14 ??? ??? nnn aS 于是 )2 12 1()( 1211 ???? ????? nnnnnn aaSS 所以 111 2 1??? ??? nnnn aaa nnaa 2121 ??? ? . （ 2）應(yīng)用類型 4（ nnn qpaa ???1 （其中 p， q 均為常數(shù)， )0)1)(1(( ??? qppq ）） 的方法，上式兩邊同乘以 12?n 得： 222 11 ???? nnnn aa 由 12 14 121111 ?????? ? aaSa .于是數(shù)列 ? ?nna2 是以 2 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列，所以 nna nn 2)1(222 ???? 12 ??? nn na 類型 7 banpaa nn ????1 )001( ?? ，a、p 解法：這種類型一 般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令 )()1(1 yxnapynxa nn ??????? ，與已知遞推 式比較， 解出 yx, , 從而轉(zhuǎn)化為 14 ? ?yxnan ?? 是公比為 p 的等比數(shù)列。(2)本題也可由 123 1 ??? ? naa