時(shí)直接證明與間接證明-在線瀏覽
2025-07-17 22:02本頁(yè)面
【正文】 ＋ c . 證明： ∵ a ， b ， c ＞ 0 ，根據(jù)基本不等式， 有a2b＋ b ≥ 2 a ，b2c＋ c ≥ 2 b ，c2a＋ a ≥ 2 c . 三式相加： a2b＋b2c＋c2a＋ a ＋ b ＋ c ≥ 2( a ＋ b ＋ c ) ． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)取等號(hào)． 即a2b＋b2c＋c2a≥ a ＋ b ＋ c . 目錄 考 點(diǎn) 2 分析法 已知 m 0 ， a ， b ∈ R ，求證： (a ＋ mb1 ＋ m)2≤a2＋ mb21 ＋ m. 【證明】 ∵ m 0 ， ∴ 1 ＋ m 0 . 所以要證原不等式成立， 只需證明 ( a ＋ mb )2≤ (1 ＋ m )( a2＋ mb2) ， 即證 m ( a2－ 2 ab ＋ b2) ≥ 0 ， 即證 ( a － b )2≥ 0 ，而 ( a － b )2≥ 0 顯然成立， 故原不等式得證． 例 2 目錄 【名師點(diǎn)評(píng)】 分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來(lái)講，它是一種從未知到已知 ( 從結(jié)論到題設(shè) ) 的邏輯 推理方法．具體地說(shuō)，即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而最后當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 ( 定義、公理、定理、法則、公式等 )或要證命題的已知條件時(shí)命題得證． 目錄 跟蹤訓(xùn)練 2 ．已知非零向量 a ⊥ b ，求證：| a |＋ | b || a － b |≤ 2 . 證明： ∵ a ⊥ b ， ∴ a b ) ， 只需證： | a |2＋ | b |2－ 2| a || b |≥ 0 ， 即 (| a |－ | b |)2≥ 0 ，顯然成立． 故原不等式得證． 目錄 考點(diǎn) 3 反證法 ( 2 0 1 1 . 證明：假設(shè) ∠ B 9 0 176。 ，從而 ∠ B 是 △ ABC的最大角， ∴ b 是 △ ABC 的最大邊，即 b a ， b c . ∴1a1b，1c1b，相加得1a＋1c1b＋1b＝2b， 這與1a＋1c＝2b矛盾． 故 ∠ B ≥ 9 0 176。 . 目錄 方法感悟 1 ．綜合法是 “ 由因?qū)Ч?” ，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫作順推法或由因?qū)Чǎ? 綜合法格式：從已知條件出發(fā)，順著推證，由 “ 已知 ” 得 “ 推知 ” ，由 “ 推知 ” 得 “ 未知 ” ，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是 “ ∵ ， ∴ ” 或 “ ? ” ． 2 ．分析法是 “ 執(zhí)果索因 ” ，一步步尋求上一步成立的充分條件，因此分析法又叫
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