蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-222直接證明與間接證明2篇-在線瀏覽
2025-02-11 04:43本頁面
【正文】 c?? ? ?≥ ． 通分得 ( ) ( ) 4( )( )b c a ba b b c a c? ? ?? ? ?≥，即證 4( )( )aca b b c a c?? ? ?≥． 只需證 2( ) 4( ) ( )a c a b b c? ? ?≥ 成立．思路找到． 證明：∵ abc??， ∴ 0ab?? ， 0bc?? ， 0ac?? ． ∴ 224 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )a b b c a b b c a c? ? ? ? ? ? ?≤． ∴ 4( )( )aca b b c a c?? ? ?≥， 即 ( ) ( ) 4 0( ) ( )b c a ba b b c a c? ? ? ?? ? ? ≥ ∴ 114 0a b b c c a??? ? ? ≥． 點(diǎn)評：分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實(shí)際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程． 二、分析法與綜合法聯(lián)合使用 對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”，都有一個比較長的思考過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難．為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者結(jié)合起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題 的一個中間目標(biāo)．從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑．上面所言的思維模 式可概括為如下圖所示： 綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用．把分析法與綜合法并列起來進(jìn)行思考，尋求問題的解答途徑，就是人們通常所說的分析綜合法． 例 2 若 a， b， c是不全相等的正數(shù)， 求證： l g l g l g l g l g l g2 2 2a b b c c a abc? ? ?? ? ? ? ?． 證明：要證 l g l g l g l g l g l g2 2 2a b b c c a abc? ? ?? ? ? ? ?， 只需證 l g l g ( )2 2 2a b b c c a abc? ? ??? ?????， 只需證 2 2 2a b b c c a abc? ? ? ?． 但是， 02ab ab? ?≥ ， 02bc bc? ?≥ ， 02ca ca? ?≥ ． 且上述三式中的等號不 全成立， 所以 2 2 2a b b c c a abc? ? ? ?． 因此 l g l g l g l g l g l g2 2 2a b b c c a abc? ? ?? ? ? ? ?． 點(diǎn)評：這個證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法． 反證法知識點(diǎn)睛 反證法是一種重要的間接證明方法，在數(shù)學(xué)中使用相當(dāng)普遍．下面加以系統(tǒng)歸納，供參考． 一、反證法的基本內(nèi)容 ①定義；②思考過程、特點(diǎn)；③解題步驟；④推出矛盾情形． 二、注意事項(xiàng) 注意一：“否定所證結(jié)論”是反證法的第一步，它的正確與否直接影響能否正確使用反證法． 否 定結(jié)論的步驟是：①弄清結(jié)論本身的情況； ②找出結(jié)論的全部相反情況；③正確地否定上述結(jié)論． 注意二：反 證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯誤，而是由于開始假定“結(jié)論的反面是正確的”是錯誤的． 注意三：在反證法證題的過程中，經(jīng)常畫出某些不正確的圖形，甚至是不可能存在的圖形，這樣做的目的，是為了能清楚地說明問題．在證明過程中，每一步推理所得結(jié)論的正確性，應(yīng)完全由它所依據(jù)的理由來保證，而不能借助圖形的直觀性，這與用直接證法借助圖形的直觀性找到證題的途徑是不完全一樣的． 注意四：用反證法證明命題時，若原命題結(jié)論的反面不惟一，這時要把每種可能一一否定，不要遺漏． 三、何時運(yùn)用反 證法 1．正面繁瑣或 困難時宜用反證法； 2．惟一性命題可考慮用反證法； 3．當(dāng)命題的結(jié)論涉及“至少”、“至多”、“無限”時，可考慮用反證法； 4．當(dāng)問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn) 的否定性命題，可考慮用反證法； 5．當(dāng)反面結(jié)論比原結(jié)論表述更明確時，可考慮用反證法． 四、典例剖析 例１ 已知函數(shù) ()fx 對其定義域內(nèi)的任意兩個實(shí)數(shù) a、 b，當(dāng) ab? 時，都有( ) ( )f a f b? ．求證：至多有一個實(shí)數(shù)
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