蘇教版選修1-2高中數(shù)學222間接證明-在線瀏覽
2025-01-20 23:34本頁面
【正文】 同樣可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且只有一個根． 題型三 用反證法證明 “ 至多 ”“ 至少 ” 等問題 【例 3 】 ( 14 分 ) 已知 a ≥ － 1 ，求證以下三個方程： x2＋ 4 a x － 4 a ＋ 3 ＝ 0 ， x2＋ ( a － 1) x ＋ a2＝ 0 ， x2＋ 2 a x － 2 a ＝ 0 中至少有一個方程有實數(shù)解． 本題綜合考查方程根的判定，反證法的證明思路及步驟． 【解題流程】 假設三個方程都沒有實數(shù)根 → 三個判別式都小于 0 → a 的范圍 → 與已知 a ≥ － 1 矛盾 → 否定假設 → 肯定結論 [ 規(guī)范解答 ] 假設三個方程都沒有實根，則三個方程中：它們的判別式都小于 0 ，即： (3 分 ) ????? ? 4 a ?2－ 4 ? － 4 a ＋ 3 ? 0? a － 1 ?2－ 4 a20? 2 a ?2＋ 4 2 a 0(8 分 ) ???????? －32 a 12a 13或 a － 1－ 2 a 0( 10 分 ) ? －32 a － 1 ，這與已知 a ≥ － 1 矛盾，所以假設不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解． ( 14 分 ) 【題后反思】 當命題出現(xiàn) “ 至多 ”“ 至少 ” 等形式時，常用反證法． 【訓練 3 】 若 a 、 b 、 c 均為實數(shù)，且 a ＝ x2－ 2 y ＋π2， b ＝ y2－ 2 z ＋π3， c ＝ z2－ 2 x ＋π6，求證： a 、 b 、 c 中至少有一個大于 0. 證明 假設 a 、 b 、 c 都不大于 0 ，則 a ≤ 0 ， b ≤ 0 ， c ≤ 0 ， ∴ a ＋ b ＋ c ≤ 0 ， 而 a ＋ b ＋ c ＝??????x2－ 2 y ＋π2＋??????
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