蘇教版選修1-2高中數(shù)學(xué)213推理案例賞析-在線瀏覽
2025-01-20 23:34本頁面
【正文】 k ＋ 1＝ 0 時(shí) ， 猜想 Sn＝ S2 k － n( n ≤ 2 k ， n ， k ∈ N*) ． 下面給出證明： 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的首項(xiàng)為 a1，公差為 d . ∵ ak＋ ak ＋ 1＝ 0 ， ∴ a1＋ ( k － 1) d ＋ a1＋ kd ＝ 0 ， ∴ 2 a1＝ (1 － 2 k ) d . 又 S2 k － n－ Sn＝ (2 k － n ) a1＋? 2 k － n ?? 2 k － n － 1 ?2d － na1－n ? n － 1 ?2 d ＝????????? k － n ?? 1 － 2 k ? ＋? 2 k － n ?? 2 k － n － 1 ?2－n ? n － 1 ?2d ＝????????? k － n ?? 1 － 2 k ? ＋? 2 k － n ?2－ n2－ ? 2 k － n ? ＋ n2d ＝ 0 ∴ S2 k － n＝ Sn猜想正確． 題型二 類比推理與演繹推理 【例 2 】 在 Rt △ ABC 中， AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC 于 D ， 求證：1AD2 ＝1AB2 ＋1AC2 ，那么在四面體 A BCD 中，類比上 述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由． [ 思路探索 ] 類比推理得出結(jié)論再證明． 證明 如圖 ① 所示，由射影定理知 AD2＝ BD BC ， AC2＝ BC DC ＝BC2BD DC AC2 圖 ① 又 BC2＝ AB2＋ AC2， ∴1AD2 ＝AB2＋ AC2AB2＋ AC2＝1AB2 ＋1AC2 . 所以1AD2 ＝1AB2 ＋1AC2 . 類比 AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC 猜想： 四面體 A BCD 中 ， AB 、 AC 、 AD 兩兩垂直， AE ⊥ 平面 BCD ，則1AE2 ＝1AB2 ＋1AC2 ＋1AD2 . 如圖 ② ，連接 BE 交 CD 于 F ，連接 AF . ∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ， ∴ AB ⊥ 平面 ACD . 圖 ② 而 AF ? 平面 ACD ， ∴ AB ⊥ AF ， 在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ， ∴1AE2 ＝1AB2 ＋1AF2 . 在 Rt △ ACD 中， AF ⊥ CD ， ∴1AF2 ＝1AC2 ＋1AD2 . ∴1AE2 ＝1AB2 ＋1AC2 ＋1AD2 ， 故猜想正確． 規(guī)律方法 類比推理是根據(jù)兩個(gè)對象有一部分屬性類似，推 出這兩個(gè)對象其他屬性亦類似的一種推理方法．例如分式與 分?jǐn)?shù)類比、平面幾何與立體幾何的某些對象類比等． 【訓(xùn)練 2 】 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 具有性質(zhì)：若 M 、 N 是橢圓 C 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn) P 是橢圓上任意 一點(diǎn)，當(dāng)直線 PM 、 PN 的斜率都存在，并記為 kPM、 kPN時(shí)，
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