【正文】 t)為完全正線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t, X t)都在一條直線上； γ=1， 表示 (Y t, X t)為完全負(fù)線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t ,X t)也都在一條直線上； ? γ=0， 表示樣本點(diǎn) (Y t ,X t)在散點(diǎn)圖上的分布是雜亂無章的 ， (Y t,X t)之間無相關(guān)關(guān)系； ? 0|γ|1， 表示 (Y t ,X t)之間存在線性相關(guān)關(guān)系 ， 其樣本點(diǎn) (Y t, X t)大致地分布在某條直線左右 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? 檢驗(yàn)樣本相關(guān)系數(shù) γ， 實(shí)質(zhì)上是用樣本相關(guān)系數(shù) γ， 檢驗(yàn)總體相關(guān)系數(shù) ρ是否為 0， 如果 ρ=0， 則兩變量 Y, X 之間 ， 線性關(guān)系微弱；若 ρ≠0， 則兩變量 Y, X 之間 ， 線性關(guān)系顯著 。 各種不同的統(tǒng)計(jì)量 ， 構(gòu)成不同的檢驗(yàn)方法 。 γ的查表檢驗(yàn) ， 是 t檢驗(yàn)或者 F檢驗(yàn)方法的結(jié)果 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? 零假設(shè) H0： ρ=0， 備擇假設(shè) H1： ρ≠0。 根據(jù) ?和自由度 n2，求 t分布的臨界值 t?/2， 若 |t|≦ t?/2， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 |t|t?/2， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 相關(guān)分析 212rnrt???? 167。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 F值 ? ， ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 若 F1?/2(1,n2)≦ F≦ F?/2(1,n2)， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 F F?/2(1,n2)或 F F1 ?/2(1,n2)， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 通常的做法是檢驗(yàn) F≦ F?/2(1,n2)， 且統(tǒng)一記F≦ F?/2。 相關(guān)分析 222 12rnrtF ?????? 167。 不論是 t檢驗(yàn)還是 F檢驗(yàn) ， 其臨界值 t?/ F?/2， 對自由度 n2（ 樣本容量 =n） 和樣本相關(guān)系數(shù) γ， 都有一個(gè)臨界要求 ， 反算出樣本相關(guān)系數(shù)臨界值 γ?/2， 那么由顯著性水平 ?、 自由度 n2及臨界樣本相關(guān)系數(shù)γ?/2 ， 就可以構(gòu)成一個(gè)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 。 ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? H0： ρ=0， H1： ρ≠0。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? 【 例 73】 利用某國 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X的相關(guān)系數(shù) γ，在 ?=5%時(shí) ， 是否可以認(rèn)為 Y和 X之間存在顯著性的線性相關(guān)關(guān)系 。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 t值 。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=5%。 因?yàn)?|t|=t?/2=， 所以拒絕 H0，表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 相關(guān)分析 返回 167。 ? 設(shè)有 Xt和 Yt兩個(gè)數(shù)列 ， 依數(shù)量的大小或者品質(zhì)的優(yōu)劣 ， 分為 1,2,3,… ,n1,n個(gè)等級 ， 以 VX,t表示各個(gè) Xt的等級數(shù) ， 以 VY,t表示各個(gè) Yt的等級數(shù) ， 則等級相關(guān)系數(shù) γ s為 ? () ? 式中 ， n是樣本容量 。 ? 與相關(guān)系數(shù) γ類似 ， γ s的取值范圍為 0≦ |γ s|≦ 1。 γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級完全相同 ， 存在完全正相關(guān)； γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級完全相反 ， 存在完全負(fù)相關(guān) 。 相關(guān)分析 )1(61)1()(61 212212,???????????nnDnnVVnttnttYtXs ??非參數(shù)相關(guān)分析。 167。 ? 當(dāng)樣本容量 n≧ 20時(shí) ， 可利用以下的 t統(tǒng)計(jì)量 ， 進(jìn)行 γ s的檢驗(yàn) ? () ? 當(dāng)總體等級相關(guān)系數(shù) ρ s =0時(shí) ， 可以證明： t統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 n2的 t分布 。 ? 同樣也可以參照樣本相關(guān)系數(shù) γ的檢驗(yàn)方法 ， 構(gòu)造新的統(tǒng)計(jì)量 t2去進(jìn)行 F檢驗(yàn) ， 或者直接查相關(guān)系數(shù)表檢驗(yàn) 。 相關(guān)分析 212ssnt?? ??? 167。 抽查 10同學(xué)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表 。 根據(jù)以上結(jié)果 ， 能否得出復(fù)習(xí)時(shí)間越長考試成績越高的結(jié)論 。 相關(guān)分析 序號 t 復(fù)習(xí)時(shí)間 考試成績 Dt2=(VX,tVX,t)2 時(shí)間 Xt 排隊(duì)等級 VX,t 成績 Yt 排隊(duì)等級 VX,t 1 3 3 86 3 0 2 4 4 87 4 0 3 1 1 4 1 0 4 2 2 85 2 0 5 5 5 93 6 1 6 8 6 91 5 1 7 10 8 95 8 9 7 94 7 0 9 11 9 95 10 13 10 96 10 0 合計(jì) 55 55 167。 對于 Xt或者 Yt相同的 ， 取其應(yīng)得等級的平均數(shù) 。 根據(jù)公式 ， 得 γ=， t=。 因?yàn)?|t|=≦ t?/2(n2)=， 表示Y, X之間相關(guān)不顯著 ， 難以判斷復(fù)習(xí)時(shí)間 X與考試成績 Y之間存在顯著的線性關(guān)系 。 根據(jù)公式 ， 得 γ s =， t s =。 因?yàn)?|t s |=t?/2(n2)=， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 ， 存在復(fù)習(xí)時(shí)間越長考試成績越高的現(xiàn)象 。 相關(guān)分析 返回 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 167。 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 167。 一元線性回歸模型的預(yù)測 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 ? 167。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 設(shè)因變量為 Y， 自變量為 X；若 Y的數(shù)學(xué)期望存在 ， 且服從如下的分布 ? Y~N (?1+ ?2X , ?2) () ? 式中 ?1， ?2和 ?2是不依賴于 X的未知參數(shù) 。u ~N (0， ?2) () ? 就稱為 一元線性回歸模型 （ 或稱為相關(guān)方程 ） 。 ? 又由于 Y的數(shù)學(xué)期望是 X的函數(shù) ， ? E ( Y166。X )是一個(gè)關(guān)于 X的回歸期望 ， 它從平均意義上表達(dá)了 Y與 X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 ， 于是 ， E (Y166。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 誤差項(xiàng) ｕ 的標(biāo)準(zhǔn)假定 ? ⑴ 誤差項(xiàng)的期望值恒為零 ， 即 ? E (ｕ t166。Xt)=E (ｕ t2166。t≠s () ? ⑷ ｕ t的概率分布與 ?1， ?2和 X無關(guān) 。 ? Cov(Xt,ｕ t)=E (Xtｕ t )=0 () ? ⑹ ｕ t服從正態(tài)分布 ， 即 ? ｕ t ~N (0， ?2) () ? 以上假定最早是由德國數(shù)學(xué)家高斯提出來的，也稱為高斯假定或者標(biāo)準(zhǔn)假定。 一元線性回歸分析 圖 7－ 3 總體回歸與隨機(jī)誤差 Y X ?= ?1+ ?2X. 0 Y= ?1+ ?2X+u u t→ 167。滿足⑴ ~⑹ 假定的一元線性回歸模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)線性正態(tài)回歸模型。 其最一般的模型及回歸函數(shù)為 ? Y= ?1 + ?2X +u , ?X = E ( Y166。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù)，就是根據(jù)樣本資料 (Yt, X t)，對總體回歸函數(shù)進(jìn)行擬合的估計(jì)函數(shù)。由樣本關(guān)系方程 ? () ? 有樣本回歸函數(shù) ? () ? 式中 ， Yt和 X t分別是 Y和 X的第 t次觀察值； ?t為樣本回歸線上與 X t相對應(yīng)的值 ， 它是對 E(Yt166。 ? 樣本回歸函數(shù)是總體回歸函數(shù)的近似反映 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。?)(,0)(。??? 21 ntXY tt ??? ??返回 167。 它的準(zhǔn)則是使 ｅ t的平方和最小 ， 即 ? () ? 由極值條件 ， 有聯(lián)立方程 ? () ? 整理得正規(guī)方程組 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 回歸系數(shù)的估計(jì) （續(xù)） ? 求解正規(guī)方程組 ， 得 ? () ? 利用 ()式 ， 則最小二乘估計(jì)量 ， 又可簡寫為 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 【 例 75】 利用某國 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X數(shù)據(jù)，建立消費(fèi)對可支配收入的回歸估計(jì)方程。X ) = ?1+ ?2X ? 根據(jù)最小二乘估計(jì)方法 ， 得回歸估計(jì)方程 ? ?X = +， S =, γ2= ? () () d= ? ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。X t YtY t ?X,t ｅ t=Yt–?t 1951 1 1952 2 1953 3 230 52900 58098 1954 4 1955 5 1956 6 1957 7 1958 8 1959 9 1960 10 350 122500 105755 113820 1961 11 112359 1962 12 126096 136820 1963 13 375 140625 151725 1964 14 1965 15 204801 1966 16 238699 1967 17 1968 18 316765 1969 19 364749 1970 20 422323 合計(jì) 210 3471559 2888129 3166305 平均 173578 167。 ? 以上性質(zhì) ， 在文獻(xiàn)中被稱為高斯 —馬爾可夫定理 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差估計(jì) ? 數(shù)學(xué)上可以證明 ， ?2的無偏估計(jì) S2可由下式給出： ? () ? 在一元線性回歸模型中 ， 殘差 ｅ t必須滿足 ?1， ?2最小二乘估計(jì)要求所導(dǎo)出的兩個(gè)約束條件： ? () ? 因而失去了 2個(gè)自由度 ， 所以 ， 殘差 ｅ t的自由度為 n 2。 因此 ， S又叫做回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 。 一元線性回歸分析