主成分分析模型(2)-在線瀏覽
2025-07-14 17:54本頁(yè)面
【正文】 ?????najajiaiijij xxxxnssS1))((1)(而相關(guān)系數(shù)矩陣： jjiiijijij sssrrR ?? )(顯然，當(dāng)原始變量 X1， … ， Xp標(biāo)準(zhǔn)化后，則 XXnRS ??? 1實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往指標(biāo)的量綱不同，所以在計(jì)算之前先消除量綱的影響，而將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，這樣一來(lái) S和 R相同。因?yàn)檫@時(shí)的 R與 只差一個(gè)系數(shù)，顯然 與 的特征根相差 n倍，但它們的特征向量不變，它并不影響求主成分。 將 k個(gè)主成分綜合成單指標(biāo)評(píng)價(jià) ， 通常有以下三種方法 。 ?iFFF kkv ??? ???? ?2211 第二種方法，只用第一個(gè)主成分作評(píng)估指數(shù)，即 v= F1。但是值得注意的是使用這種方法是有前提條件的，即要求所有評(píng)估指標(biāo)變量都是正相關(guān)的，也就是說(shuō)對(duì)所有變量均有同增、同減的趨勢(shì)。 即令 這時(shí) 因此 ， 1~p個(gè)變量的方差分別為： 由于一部分在系統(tǒng)評(píng)估中更為重要的變量被賦予更大的權(quán)數(shù) ， 因此在這些指標(biāo)上 ， 變量的變差被拉長(zhǎng) ，于是在求第一主成分時(shí) ， 這些指標(biāo)會(huì)得到更多的重視 。 YY jjj )1(~ ???)1()1( 22 )())1(( ??? jV arjV ar YY jjj ?? ???)1()1()1( 222 ,2,1 ??? p??? ?Y~?~ ?~ ?1 u1Yv u ~~ 1? ),( ~~~ 21 vvv n?二、因子分析模型 什么是因子分析 因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展。 例如，某公司對(duì) 100名招聘人員的知識(shí)和能力進(jìn)行測(cè)試，出了 50道題的試卷，其內(nèi)容包括的面較廣，但總的來(lái)講可歸納為六個(gè)方面：語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力、判斷事物的敏捷和果斷程度、思想修養(yǎng)、興趣愛(ài)好、生活常識(shí)等，我們將每一方面稱為因子，顯然這里所說(shuō)的因子不同于回歸分析中因素， 因?yàn)榍罢呤潜容^抽象的一種概念。 假設(shè) 100人測(cè)試的分?jǐn)?shù)為 ，可以用上述六個(gè)因子表示成線性函數(shù)： }100,2,1,{ ??iX iiiiii FaFaFaX ?????? 662211 ?其中 F1， F2， … ， F6表示六個(gè)因子，它對(duì)所有 Xi是共有的因子，通常稱為公共因子，它們的系數(shù)ai1, … ， ai6稱為因子載荷，它表示第 i個(gè)應(yīng)試人員在六個(gè)因子方面的能力。 ),0(~ 2ii N ??這里的 F1， … ， F6的值是未知的，并且有關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義更不一樣。利用綜合出的少數(shù)因子，以再現(xiàn)原始變量和因子之間的相互關(guān)系，以達(dá)到降維的目的。然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同組的變量相關(guān)性較低。 F稱為 X的公共因子或潛因子，即前面所說(shuō)的綜合變量，可以把它們理解為在高維空間中的互相垂直的 m個(gè)坐標(biāo)軸； aij稱為因子載荷是第 i個(gè)變量在第 j個(gè)公共因子上的負(fù)荷，如果把變量 Xi看成 m維因子空間中的一個(gè)向量，則 aij表示 Xi在坐標(biāo)軸 Fj上的投影，矩陣 A稱為因子載荷矩陣； ε稱為 X的特殊因子，通常理論上要求 ε的協(xié)方差陣是對(duì)角陣， ε中包括了隨機(jī)誤差。 因子分析和主成分分析有許多相似這處，在求解過(guò)程中二者都是從一個(gè)協(xié)方差陣出發(fā)，但這兩種模型是有區(qū)別的。另外在主成分分析中每個(gè)主成分相應(yīng)的系數(shù) aij是唯一確定的，與此相反在因子分析中每個(gè)因子的相應(yīng)系數(shù)不是唯一的，即因子載荷不是唯一的。 因子模型中公共因子、因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義 假定因子模型中，各變量的公共因子、特殊因子都已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)化（均值為 0、方差為 1）的變量 （ 1）因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義 已知模型： imimjijiii FaFaFaFaX ???????? ??2211兩端右乘 Fj得： jijmimjjijjijiji FFFaFFaFFaFFaFX ???????? ??2211于是： )()()()()()( 2211 jijmimjjijjijiji FEFFaFFEaFFEaFFEaFXE ???????? ??在標(biāo)準(zhǔn)化下有： ijFFFimFFijFFiFFiFXarrararararjijmjjjjji???????? ???21 21因?yàn)楦饕蜃硬幌嚓P(guān)，所以相關(guān)系數(shù)為 0 故因子載荷 aij的統(tǒng)計(jì)意義就是第 i個(gè)變量與第 j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)即表示 Xi依賴 Fj的份量（比重）。 （ 2）變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義 所謂變量共同度定義為因子載荷陣 A中
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