主成分分析模型(2)(參考版)
2025-05-15 17:54本頁面
【正文】 。用它來計算每個樣品的公共因子得分。旋轉(zhuǎn)的方法有多種，如正交旋轉(zhuǎn)、斜交旋轉(zhuǎn)等，這里僅介紹常用的最大方差正交旋轉(zhuǎn)。所謂結(jié)構(gòu)簡化就是使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余 公共因子上載荷比較小。 又因為因子模型為： X=AF，其中 D（ F） =I 所以 TT AAAFADAFDXD ????? )()()(對照 ∑的分解式，則因子載荷矩陣 A的第 j列應(yīng)該是 ，也就是說除常數(shù) 外，第 j列因子載荷恰是第 j個主成分的系數(shù) ej，故稱為主成分分析法。對 A的估計方法有很多，這里僅介紹使用較為普遍的主成分法。 2ih2ih 02 ?ih2i?（ 3）公共因子 Fj的方差貢獻的統(tǒng)計意義 將因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為 pjaSpiijj ,112 ??? ??稱 Sj為公共因子 Fj對 X的貢獻，即 Sj表示同一公共因子 Fj對諸變量所提供的方差貢獻之和，它是衡量公共因子相對重要性指標(biāo)。當(dāng) 時，說明公共因子對 Xi影響很小，主要由特殊因子 ε來描述。因此用統(tǒng)計學(xué)的術(shù)語應(yīng)該叫著權(quán)，但由于歷史原因，心理學(xué)家將它叫著載荷，即表示第 i個變量在第 j個公共因子上的負(fù)荷，它反映了第 i個變量在第 j個公共因子上的相對重要性。從因子分析的數(shù)學(xué)模型上看，它與多變量回歸也有類似之處，但本質(zhì)的區(qū)別是因子分析模型作為“自變量”的 F是不可觀測的。主成分分析的數(shù)學(xué)模型實質(zhì)上是一種變換，而因子分析模型是描述原指標(biāo) X協(xié)方差陣 Σ結(jié)構(gòu)的一種模型，當(dāng) m=p時，就不能考慮 ε，此時因子分析也對應(yīng)一種變量變換，但實際應(yīng)用中，m都小于 p，且為經(jīng)濟起見總是越小越好。 TpXXX ),( 1 ??TmFFF ),( 1 ??因子分析的目的就是通過模型 X=AF+ε以 F代替 X，由于 mp，從而達(dá)到簡化變量維數(shù)據(jù)的愿望。 數(shù)學(xué)模型（正交因子模型） ??????????????????????pmpmpppmmmmFaFaFaXFaFaFaXFaFaFaX??????2211222221212112121111用矩陣表示為： X=AF+ε 且滿足 1)m≤p 2)Cov(F,ε)=0 即 F和 ε是不相關(guān)的 3) mIFD ??????????????100010001)(????即 F1， … ， Fm不相關(guān)且方差皆為 1 ???????????????22221)(pD????即 ε1， … ， εp不相關(guān)，且方差不同 其中 是可實測的 p個指標(biāo)所構(gòu)成 p維隨機向量， 是不可觀測的向量。 2i?基本思想 因子分析的基本思想是通過變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量的少數(shù)幾個隨機變量去描述多個變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個隨機變量是不可觀測的，通常稱為因子。因子分析的任務(wù)，首先是估計出 {aij}和方差 ，然后將這些抽象因子 {Fi}賦予實際背景的解釋或說法以命名。 εi是第 i個應(yīng)試人的能力和知識不能被前六個因子包括的部分，稱為特殊因子，通常假定 ，仔細(xì)觀察這個模型與回歸模型在形式上有些相似，實質(zhì)很不同。而后者有著極為明確的實際意義，如人口密度、工業(yè)總產(chǎn)值、產(chǎn)量等。它也是將具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，同時根據(jù)不同因子還可以對變量進行分類，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計方法。 然后，對標(biāo)準(zhǔn)化又加權(quán)后的數(shù)據(jù)陣 計算協(xié)方差矩陣 ，求 的最大特征值 和特征向量 ， 令 ，最后按 進行排序比較或分類劃級。 第三種方法 ， 根據(jù)變量的重要性程度不同賦予不同的權(quán)數(shù) ， 重要的變量權(quán)數(shù)取得大些 ， 不重要的變量權(quán)數(shù)取得相對小些 。理由是，第一主成分與原始變量 X1，X2， … ， Xp綜合相關(guān)度最強，如果想以一個綜合變量來代替原來所有變量，則最佳選擇應(yīng)該是 F1；另一方面由于第一主成分 F1對應(yīng)于數(shù)據(jù)變異最大的方向也就是
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