主成分分析模型(2)-資料下載頁
2025-05-11 17:54本頁面
【正文】 ，說明公共因子對(duì) Xi影響很小，主要由特殊因子 ε來描述。第二部分 是特定變量所產(chǎn)生的方差，稱為特殊因子方差僅與變量 Xi本身的變化有關(guān)，它是使 Xi的方差為 1的補(bǔ)充值。 2ih2ih 02 ?ih2i?（ 3）公共因子 Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義 將因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為 pjaSpiijj ,112 ??? ??稱 Sj為公共因子 Fj對(duì) X的貢獻(xiàn)，即 Sj表示同一公共因子 Fj對(duì)諸變量所提供的方差貢獻(xiàn)之和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性指標(biāo)。 因子載荷陣的估計(jì)方法 建立某個(gè)實(shí)際問題的因子模型，關(guān)鍵是要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)矩陣估計(jì)因子載荷矩陣 A。對(duì) A的估計(jì)方法有很多，這里僅介紹使用較為普遍的主成分法。 設(shè)隨機(jī)向量 的協(xié)方差矩陣為 ∑ ， 為 ∑的特征根， e1， … ， ep為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)下交化特征向量，則根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)∑可分解為： TpXXXX ),( 21 ??021 ??????? p??????????????????????????????????????? ??pppppiTiiiTpeeeeeeUU???1111121),(上面的分解式恰是公共因子與變量個(gè)數(shù)一樣多且特殊因子的方差為 0時(shí)，因子模型中協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)。 又因?yàn)橐蜃幽Ｐ蜑椋?X=AF，其中 D（ F） =I 所以 TT AAAFADAFDXD ????? )()()(對(duì)照 ∑的分解式，則因子載荷矩陣 A的第 j列應(yīng)該是 ，也就是說除常數(shù) 外，第 j列因子載荷恰是第 j個(gè)主成分的系數(shù) ej，故稱為主成分分析法。 iie? i?因子旋轉(zhuǎn) 建立因子分析模型的目的不僅要找出公共因子以及對(duì)變量進(jìn)行分組，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問題作出科學(xué)的分析，如果每個(gè)公共因子的涵義不清，不便于進(jìn)行實(shí)際背景的解釋，這時(shí)根據(jù)因子載荷矩陣的不唯一性，可對(duì)因子載荷矩陣實(shí)行旋轉(zhuǎn)，即用一個(gè)正交矩陣右乘 A（由線性代數(shù)知道，一個(gè)正交變換對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系的一次旋轉(zhuǎn)），使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，便于對(duì)公共因子進(jìn)行解釋。所謂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化就是使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余 公共因子上載荷比較小。這種變換因子載荷矩陣的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)的方法有多種，如正交旋轉(zhuǎn)、斜交旋轉(zhuǎn)等，這里僅介紹常用的最大方差正交旋轉(zhuǎn)。 因子得分 因子分析的數(shù)學(xué)模型是將變量表示為公共因子的線性組合： mimjijiii FaFaFaFaX ?????? ??2211由于公共因子能反映原始變量的相關(guān)關(guān)系，用公共因子代表原始變量時(shí)，有時(shí)更有利于描述研究對(duì)象的特征，因而往往需要反過來將公共因子表示為變量的線性組合，即 mjXXXF pjpjjj ,12211 ?? ????????稱上式為得分因子函數(shù)。用它來計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分。 由于因子得分 Fj的值是待估的，我們僅知道利用樣本值可得因子載荷陣 ，由因子載荷矩陣的意義 mpijaA ?? )(ipjpijijpijpijijpjpjjijiFXijrbrbrbXXEbXXEbXXEbXbXbXbXEFXEraji?????????????????221122112211)()()()]([)(即 ?????????????pjppjppjpjjpjpjjarbrbrbarbrbrb???221111122111因此，因子得分計(jì)算公式為： XRAXbXbFFF Tmm111??? ???????????????????????? ??因子分析法計(jì)算步驟： 第一步：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，以消除量綱的影響； 第二步：建立指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)矩陣 R； 第三步：求 R的特征值與特征向量； 第四步：建立因子載荷矩陣 A； 第五步；對(duì)因子載荷矩陣實(shí)行方差最大旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的因子載荷進(jìn)行指標(biāo)分類并解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象； 第六步：計(jì)算因子得分。
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