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主成分分析模型(2)-資料下載頁

2025-05-11 17:54本頁面
  

【正文】 ,說明公共因子對 Xi影響很小,主要由特殊因子 ε來描述。第二部分 是特定變量所產(chǎn)生的方差,稱為特殊因子方差僅與變量 Xi本身的變化有關(guān),它是使 Xi的方差為 1的補充值。 2ih2ih 02 ?ih2i?( 3)公共因子 Fj的方差貢獻的統(tǒng)計意義 將因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為 pjaSpiijj ,112 ??? ??稱 Sj為公共因子 Fj對 X的貢獻,即 Sj表示同一公共因子 Fj對諸變量所提供的方差貢獻之和,它是衡量公共因子相對重要性指標。 因子載荷陣的估計方法 建立某個實際問題的因子模型,關(guān)鍵是要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)矩陣估計因子載荷矩陣 A。對 A的估計方法有很多,這里僅介紹使用較為普遍的主成分法。 設(shè)隨機向量 的協(xié)方差矩陣為 ∑ , 為 ∑的特征根, e1, … , ep為對應(yīng)的標準下交化特征向量,則根據(jù)線性代數(shù)的知識∑可分解為: TpXXXX ),( 21 ??021 ??????? p??????????????????????????????????????? ??pppppiTiiiTpeeeeeeUU???1111121),(上面的分解式恰是公共因子與變量個數(shù)一樣多且特殊因子的方差為 0時,因子模型中協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)。 又因為因子模型為: X=AF,其中 D( F) =I 所以 TT AAAFADAFDXD ????? )()()(對照 ∑的分解式,則因子載荷矩陣 A的第 j列應(yīng)該是 ,也就是說除常數(shù) 外,第 j列因子載荷恰是第 j個主成分的系數(shù) ej,故稱為主成分分析法。 iie? i?因子旋轉(zhuǎn) 建立因子分析模型的目的不僅要找出公共因子以及對變量進行分組,更重要的是要知道每個公共因子的意義,以便對實際問題作出科學的分析,如果每個公共因子的涵義不清,不便于進行實際背景的解釋,這時根據(jù)因子載荷矩陣的不唯一性,可對因子載荷矩陣實行旋轉(zhuǎn),即用一個正交矩陣右乘 A(由線性代數(shù)知道,一個正交變換對應(yīng)坐標系的一次旋轉(zhuǎn)),使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣結(jié)構(gòu)簡化,便于對公共因子進行解釋。所謂結(jié)構(gòu)簡化就是使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷,而在其余 公共因子上載荷比較小。這種變換因子載荷矩陣的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)的方法有多種,如正交旋轉(zhuǎn)、斜交旋轉(zhuǎn)等,這里僅介紹常用的最大方差正交旋轉(zhuǎn)。 因子得分 因子分析的數(shù)學模型是將變量表示為公共因子的線性組合: mimjijiii FaFaFaFaX ?????? ??2211由于公共因子能反映原始變量的相關(guān)關(guān)系,用公共因子代表原始變量時,有時更有利于描述研究對象的特征,因而往往需要反過來將公共因子表示為變量的線性組合,即 mjXXXF pjpjjj ,12211 ?? ????????稱上式為得分因子函數(shù)。用它來計算每個樣品的公共因子得分。 由于因子得分 Fj的值是待估的,我們僅知道利用樣本值可得因子載荷陣 ,由因子載荷矩陣的意義 mpijaA ?? )(ipjpijijpijpijijpjpjjijiFXijrbrbrbXXEbXXEbXXEbXbXbXbXEFXEraji?????????????????221122112211)()()()]([)(即 ?????????????pjppjppjpjjpjpjjarbrbrbarbrbrb???221111122111因此,因子得分計算公式為: XRAXbXbFFF Tmm111??? ???????????????????????? ??因子分析法計算步驟: 第一步:將原始數(shù)據(jù)標準化,以消除量綱的影響; 第二步:建立指標間的相關(guān)系數(shù)矩陣 R; 第三步:求 R的特征值與特征向量; 第四步:建立因子載荷矩陣 A; 第五步;對因子載荷矩陣實行方差最大旋轉(zhuǎn),根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的因子載荷進行指標分類并解釋經(jīng)濟現(xiàn)象; 第六步:計算因子得分。
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