主成分分析模型(2)(編輯修改稿)
2025-06-16 17:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ppiiii YaYaYaF ???? ?2211 ki ,1 ??（ 5）將 k個主成分進(jìn)行綜合，綜合成單個指標(biāo)，并得出最后排序結(jié)果 主成分進(jìn)行綜合常用的有以下三種方法。 將 k個主成分綜合成單指標(biāo)評價 ， 通常有以下三種方法 。 第一種方法 ， 將累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到 85%的 k個主成分F1， F2， … ， Fk做線性組合 ， 并以每個主成分 Fi的方差貢獻(xiàn)率 作為權(quán)數(shù)構(gòu)造一個綜合評價函數(shù)： 以 v為評估指數(shù)，依據(jù)對每個評價對象計(jì)算出的 v值大小進(jìn)行綜合排序。 ?iFFF kkv ??? ???? ?2211 第二種方法，只用第一個主成分作評估指數(shù)，即 v= F1。理由是，第一主成分與原始變量 X1，X2， … ， Xp綜合相關(guān)度最強(qiáng)，如果想以一個綜合變量來代替原來所有變量，則最佳選擇應(yīng)該是 F1；另一方面由于第一主成分 F1對應(yīng)于數(shù)據(jù)變異最大的方向也就是使數(shù)據(jù)信息損失最小，精度最高的一維綜合變量。但是值得注意的是使用這種方法是有前提條件的，即要求所有評估指標(biāo)變量都是正相關(guān)的，也就是說對所有變量均有同增、同減的趨勢。 第三種方法 ， 根據(jù)變量的重要性程度不同賦予不同的權(quán)數(shù) ， 重要的變量權(quán)數(shù)取得大些 ， 不重要的變量權(quán)數(shù)取得相對小些 。 即令 這時 因此 ， 1~p個變量的方差分別為： 由于一部分在系統(tǒng)評估中更為重要的變量被賦予更大的權(quán)數(shù) ， 因此在這些指標(biāo)上 ， 變量的變差被拉長 ，于是在求第一主成分時 ， 這些指標(biāo)會得到更多的重視 。 然后，對標(biāo)準(zhǔn)化又加權(quán)后的數(shù)據(jù)陣 計(jì)算協(xié)方差矩陣 ，求 的最大特征值 和特征向量 ， 令 ，最后按 進(jìn)行排序比較或分類劃級。 YY jjj )1(~ ???)1()1( 22 )())1(( ??? jV arjV ar YY jjj ?? ???)1()1()1( 222 ,2,1 ??? p??? ?Y~?~ ?~ ?1 u1Yv u ~~ 1? ),( ~~~ 21 vvv n?二、因子分析模型 什么是因子分析 因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展。它也是將具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，同時根據(jù)不同因子還可以對變量進(jìn)行分類，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法。 例如，某公司對 100名招聘人員的知識和能力進(jìn)行測試，出了 50道題的試卷，其內(nèi)容包括的面較廣，但總的來講可歸納為六個方面：語言表達(dá)能力、邏輯思維能力、判斷事物的敏捷和果斷程度、思想修養(yǎng)、興趣愛好、生活常識等，我們將每一方面稱為因子，顯然這里所說的因子不同于回歸分析中因素， 因?yàn)榍罢呤潜容^抽象的一種概念。而后者有著極為明確的實(shí)際意義，如人口密度、工業(yè)總產(chǎn)值、產(chǎn)量等。 假設(shè) 100人測試的分?jǐn)?shù)為 ，可以用上述六個因子表示成線性函數(shù)： }100,2,1,{ ??iX iiiiii FaFaFaX ?????? 662211 ?其中 F1， F2， … ， F6表示六個因子，它對所有 Xi是共有的因子，通常稱為公共因子，它們的系數(shù)ai1, … ， ai6稱為因子載荷，它表示第 i個應(yīng)試人員在六個因子方面的能力。 εi是第 i個應(yīng)試人的能力和知識不能被前六個因子包括的部分，稱為特殊因子，通常假定 ，仔細(xì)觀察這個模型與回歸模型在形式上有些相似，實(shí)質(zhì)很不同。 ),0(~ 2ii N ??這里的 F1， … ， F6的值是未知的，并且有關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義更不一樣。因子分析的任務(wù)，首先是估計(jì)出 {aij}和方差 ，然后將這些抽象因子 {Fi}賦予實(shí)際背景的解釋或說法以命名。利用綜合出的少數(shù)因子，以再現(xiàn)原始變量和因子之間的相互關(guān)系，以達(dá)到降維的目的。 2i?基本思想 因子分析的基本思想是通過變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量的少數(shù)幾個隨機(jī)變量去描述多個變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個隨機(jī)變量是不可觀測的，通常稱為因子。然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同組的變量相關(guān)性較低。 數(shù)學(xué)模型（正交因子模型） ??????????????????????pmpmpppmmmmFaFaFaXFaFaFaXFaFaFaX??
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