主成分分析模型(2)-閱讀頁
2025-05-31 17:54本頁面
【正文】 第 i行元素的平方和，即 piahmjiji ,1122 ??? ??為了說明它的統(tǒng)計意義，將下式兩邊求方差，即 imimjijiii FaFaFaFaX ???????? ??22112222222122222121 )()()()()()(iiiimiiimimjijiiihaaaV arFV araFV araFV araFV araXV ar????????????????????由于 Xi已經標準化了，所以有 221iih ???此式說明了 Xi的方差由兩部分組成：第一部分為共同度 ，它刻劃全部公共因子對變量 Xi的總方差所作的貢獻， 越接近于 1，說明該變量的 2ih2ih幾乎全部信息都被所選取的公共因子說明了，如 =，說明 Xi的 97%的信息被所選取的 m個公共因子說明了，也就是說由原始變量空間轉為因子空間轉化的性質越好，保留原來信息量多，因此 是 Xi的方差的重要組成部分。第二部分 是特定變量所產生的方差，稱為特殊因子方差僅與變量 Xi本身的變化有關，它是使 Xi的方差為 1的補充值。 因子載荷陣的估計方法 建立某個實際問題的因子模型，關鍵是要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)矩陣估計因子載荷矩陣 A。 設隨機向量 的協(xié)方差矩陣為 ∑ ， 為 ∑的特征根， e1， … ， ep為對應的標準下交化特征向量，則根據(jù)線性代數(shù)的知識∑可分解為： TpXXXX ),( 21 ??021 ??????? p??????????????????????????????????????? ??pppppiTiiiTpeeeeeeUU???1111121),(上面的分解式恰是公共因子與變量個數(shù)一樣多且特殊因子的方差為 0時，因子模型中協(xié)方差矩陣的結構。 iie? i?因子旋轉 建立因子分析模型的目的不僅要找出公共因子以及對變量進行分組，更重要的是要知道每個公共因子的意義，以便對實際問題作出科學的分析，如果每個公共因子的涵義不清，不便于進行實際背景的解釋，這時根據(jù)因子載荷矩陣的不唯一性，可對因子載荷矩陣實行旋轉，即用一個正交矩陣右乘 A（由線性代數(shù)知道，一個正交變換對應坐標系的一次旋轉），使旋轉后的因子載荷矩陣結構簡化，便于對公共因子進行解釋。這種變換因子載荷矩陣的方法稱為因子旋轉。 因子得分 因子分析的數(shù)學模型是將變量表示為公共因子的線性組合： mimjijiii FaFaFaFaX ?????? ??2211由于公共因子能反映原始變量的相關關系，用公共因子代表原始變量時，有時更有利于描述研究對象的特征，因而往往需要反過來將公共因子表示為變量的線性組合，即 mjXXXF pjpjjj ,12211 ?? ????????稱上式為得分因子函數(shù)。 由于因子得分 Fj的值是待估的，我們僅知道利用樣本值可得因子載荷陣 ，由因子載荷矩陣的意義 mpijaA ?? )(ipjpijijpijpijijpjpjjijiFXijrbrbrbXXEbXXEbXXEbXbXbXbXEFXEraji?????????????????221122112211)()()()]([)(即 ?????????????pjppjppjpjjpjpjjarbrbrbarbrbrb???221111122111因此，因子得分計算公式為： XRAXbXbFFF Tmm111??? ???????????????????????? ??因子分析法計算步驟： 第一步：將原始數(shù)據(jù)標準化，以消除量綱的影響； 第二步：建立指標間的相關系數(shù)矩陣 R； 第三步：求 R的特征值與特征向量； 第四步：建立因子載荷矩陣 A； 第五步；對因子載荷矩陣實行方差最大旋轉，根據(jù)旋轉后的因子載荷進行指標分類并解釋經濟現(xiàn)象； 第六步：計算因子得
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