【正文】 ????110010102020 ????????????110010101001 ， 11?x ， 12 ??x ， 13?x ． ? 在基 321 , ??? 下的坐標(biāo)是 )1,1,1( ? ， 321 ???? ??? ． 24．設(shè)向量組 321 , ??? 線性無關(guān)，令 311 ??? ??? ， 322 22 ??? ?? ， 3213 352 ???? ??? ，試確定向量組 321 , ??? 的線性相關(guān)性． 解：設(shè) 0332211 ??? ??? kkk ，即 0)352()22()( 3213322311 ???????? ??????? kkk ， 0)32()52()2( 3321232131 ???????? ??? kkkkkkk ， 由 321 , ??? 線性無關(guān)，得?????????????032052023213231kkkkkkk ， 052 52321520520321520201??????????? ，有非零解，321 , ??? 線性相關(guān)． 25．已知線性方程組?????????????????322321321321????xxxxxxxxx ， （ 1）討論 ? 為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解． （ 2）在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示 ）． 解： ?),( bA?????????????311211211???? ?????????????????3311001102112 ?????? ?????????????????)1(3)2)(1(000110211??????． （ 1） 2??? 時(shí)無解， 2??? 且 1?? 時(shí)惟一解， 1?? 時(shí)有無窮多 個(gè)解． （ 2） 1?? 時(shí)， ?),( bA?????????? ?000000002111 ，???????????3322321 2xxxxxxx ，通解為 ???????????????????????????????????10101100221 kk． 26．已知矩陣 A=??????????111111111 ，求正交矩陣 P 和對(duì)角矩陣 ? ，使 ??? APP 1 ． 解：111111111)3(113113113111111111||????????????????????????????????????????? AE )3(0101001)3( 2 ???? ????? ，特征值 021 ???? ， 33?? ． 對(duì)于 021 ???? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????000000111111111111AE? ， ?????????332232xxxxxxx ，基礎(chǔ)解系為????????????0111?，????????????1012?，正交化：令 ?1?????????????0111?，??????????????????????? ???????????? ????12/12/101121101||),(1211222 ?????? ，單位化：令???????????? ???????????? ???02/12/101121||1111 ???，?????????????????????????????6/26/16/112/12/162||1222 ???； 對(duì)于 33?? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????????????????????????????????????000330112330330112422242112211121112AE? ????????????????????????????????????????000110101000110202000110112 ，????????333231xxxxxx ，基礎(chǔ)解系為???????????1113?， 單位化： 令?????????????????????????3/13/13/111131||1333 ???． 令????????????????3/16/203/16/12/13/16/12/1P ， ????????????300000000 ，則 P 是正交矩陣，使 ??? APP 1 ． 四、證明題（本題 6分） 27．設(shè) ? 為非齊次線性方程組 Ax=b 的一個(gè)解， r??? , 21 ? 是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明 r???? , 21 ? 線性無關(guān)． 證：設(shè) 02211 ????? rrkkkk ???? ?，則 0)( 2211 ????? rrkkkkA ???? ?， 02211 ????? rr AkAkAkkA ???? ?， 0000 21 ????? rkkkkb ?， 0?kb ， 由 0?b ，得 0?k （ 1） 從而 02211 ???? rrkkk ??? ? ， 由 r??? , 21 ? 線性無關(guān)，得 021 ???? rkkk ? （ 2） 由（ 1）（ 2）可知 r???? , 21 ? 線性無關(guān)． 全國(guó) 2020 年 1 月自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 課程代碼： 04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。錯(cuò)填、不填均無分。 ???????????????????????????12xx3x3x4x523x6x2x2x2x3xxx2x37xxxxx5432154325432154321的通解 1 1 1 1 1 7 1 0 0 1 5 163 2 1 1 3 2 0 0 0 0 0 00 1 2 2 6 23 0 1 0 2 6 235 4 3 3 1 12 0 0 1 0 0 0? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? 1 4 52 4 535 1623 2 60X X XX X XX? ? ?? ? ?? 通解 12( 16 , 23 , 0 , 0 , 0) ( 15 , 21 , 0 , 1 , 0) ( 11 , 17 , 0 , 0 , 1 )T T Tkk? ? ? ? ? ? ? 26. 設(shè) A= ??????????????020212022,求 P 使 APP1? 為對(duì)角矩陣 . APP1? =???????????400010002 P=1 2 22 1 22 2 1????????? 1?P = T?P1 2 22 1 22 2 1????????? 四、證明題（本大題共 1 小題 ,6 分） 1，α 2，α 3 是齊次方程組 A x =0 的基礎(chǔ)解系 . 證明α 1，α 1+α 2， α 1 +α 2 +α 3 也是 Ax =0 的基礎(chǔ)解系． 略。錯(cuò)選、多選或未選均無分。錯(cuò)填、不填均無分。錯(cuò)選、多選或未選均無分。錯(cuò)填、不填均無分。 一、單項(xiàng)選擇題 (本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分 ) 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的 ， 請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。 1． 3 階行列式 jia =011101110???中元素 21a 的代數(shù)余了式 21A =（ ） A． 2 B． 1 C． 1 D． 2 2．設(shè)矩陣 A=??????????22211211aaaa ， B=?????????? ??121112221121aaaaaa ， P1=??????????0110 ， P2=??????????1101 ，則必有 （ ） A． P1P2A=B B． P2P1A=B C． AP1P2=B D． AP2P1=B 3．設(shè) n 階可逆矩陣 A、 B、 C 滿足 ABC=E，則 B1=（ ） A． A1C1 B． C1A1 C． AC D． CA 4．設(shè) 3 階矩陣 A=????????????????000100010，則 A2的秩為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 5．設(shè) 4321 , ???? 是一個(gè) 4 維向量組，若已知 4? 可以表為 321 , ??? 的線性組合，且表示法惟一，則向量組 4321 , ???? 的秩為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．設(shè)向量組 4321 , ???? 線性相關(guān) ，則向量組中（ ） A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合 7．設(shè) 321 , ??? 是齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的 是（ ） A． 2121 , ???? ? B． 133221 , ?????? ??? C． 2121 , ???? ? D． 133221 , ?????? ??? 8．若 2階矩陣 A 相似于矩陣 B=???????????3202 ， E為 2階單位矩陣，則與矩陣 EA 相似的矩陣是（ ） A．??????????4101 B．????????????4101 C．????????????4201 D．?????????????4201 9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A=?????????