【正文】 ?10 13 ???????? 21 01 = ???????? 03 66121 ???????? 21 01= ???????? 03 1212121= ???????? 04/1 11． 23． 求向量 T)2,1,3( ??? 在基 T)2,1,1(1 ?? ， T)1,3,1(2 ??? ， T)1,1,1(3 ?? 下的坐標(biāo)，并將 ? 用此基線性表示． 解：設(shè) 332211 ???? xxx ??? ，即 TTTT xxx )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3( 321 ????? ，得 ???????????????22133321321321xxxxxxxxx ， ?A????????????211211313111 ???????????????413040403111 ???????????????413010103111 ???????????????110010103111 ?????????????110010103111 ?????????????110010102020 ????????????110010101001 ， 11?x ， 12 ??x ， 13?x ． ? 在基 321 , ??? 下的坐標(biāo)是 )1,1,1( ? ， 321 ???? ??? ． 24．設(shè)向量組 321 , ??? 線性無關(guān)，令 311 ??? ??? ， 322 22 ??? ?? ， 3213 352 ???? ??? ，試確定向量組 321 , ??? 的線性相關(guān)性． 解：設(shè) 0332211 ??? ??? kkk ，即 0)352()22()( 3213322311 ???????? ??????? kkk ， 0)32()52()2( 3321232131 ???????? ??? kkkkkkk ， 由 321 , ??? 線性無關(guān)，得?????????????032052023213231kkkkkkk ， 052 52321520520321520201??????????? ，有非零解，321 , ??? 線性相關(guān)． 25．已知線性方程組?????????????????322321321321????xxxxxxxxx ， （ 1）討論 ? 為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解． （ 2）在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示 ）． 解： ?),( bA?????????????311211211???? ?????????????????3311001102112 ?????? ?????????????????)1(3)2)(1(000110211??????． （ 1） 2??? 時(shí)無解， 2??? 且 1?? 時(shí)惟一解， 1?? 時(shí)有無窮多 個(gè)解． （ 2） 1?? 時(shí)， ?),( bA?????????? ?000000002111 ，???????????3322321 2xxxxxxx ，通解為 ???????????????????????????????????10101100221 kk． 26．已知矩陣 A=??????????111111111 ，求正交矩陣 P 和對角矩陣 ? ，使 ??? APP 1 ． 解：111111111)3(113113113111111111||????????????????????????????????????????? AE )3(0101001)3( 2 ???? ????? ，特征值 021 ???? ， 33?? ． 對于 021 ???? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????000000111111111111AE? ， ?????????332232xxxxxxx ，基礎(chǔ)解系為????????????0111?，????????????1012?，正交化：令 ?1?????????????0111?，??????????????????????? ???????????? ????12/12/101121101||),(1211222 ?????? ，單位化：令???????????? ???????????? ???02/12/101121||1111 ???，?????????????????????????????6/26/16/112/12/162||1222 ???； 對于 33?? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????????????????????????????????????000330112330330112422242112211121112AE? ????????????????????????????????????????000110101000110202000110112 ，????????333231xxxxxx ，基礎(chǔ)解系為???????????1113?， 單位化： 令?????????????????????????3/13/13/111131||1333 ???． 令????????????????3/16/203/16/12/13/16/12/1P ， ????????????300000000 ，則 P 是正交矩陣，使 ??? APP 1 ． 四、證明題（本題 6分） 27．設(shè) ? 為非齊次線性方程組 Ax=b 的一個(gè)解， r??? , 21 ? 是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明 r???? , 21 ? 線性無關(guān)． 證：設(shè) 02211 ????? rrkkkk ???? ?，則 0)( 2211 ????? rrkkkkA ???? ?， 02211 ????? rr AkAkAkkA ???? ?， 0000 21 ????? rkkkkb ?， 0?kb ， 由 0?b ，得 0?k （ 1） 從而 02211 ???? rrkkk ??? ? ， 由 r??? , 21 ? 線性無關(guān)，得 021 ???? rkkk ? （ 2） 由（ 1）（ 2）可知 r???? , 21 ? 線性無關(guān)． 全國 2020 年 1 月自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 課程代碼： 04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。 ,0211?k則 k=_______1/2____. A= ??????????411023,B= ,010201??? ???則 AB=___3 2 60 1 01 4 2??????________. A= ??????????220010002, 則 A1= ??????????????? 21100100021 A 為 3 3? 矩陣 ,且方程組 A x=0 的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量 ,則秩 (A)= _____1______. A 有一個(gè)特征值 2,則 B=A2 +2E 必有一個(gè)特征值 ___6_________. 0xxx 321 ??? 的通解是 _____ __ c 1 ???????????011_+__ c 2 _ ??????????101_. 1 =(1,0,0) α 2 =(1,1,0), α 3 =(5,2,0)的秩是 _______2____. A= ??????????200020002的全部特征向量是 1 1 2 2 3 3c c c? ? ???. A 的特征值分別為 2,1,1,且 B 與 A 相似 ,則 B2 =__16_________. A= ???????????301012121所對應(yīng)的二次型是 2 2 21 2 3 1 2 1 33 4 2x x x x x x x? ? ? ?. 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 1002210002100021的值 . 1002210002100021= 1515000210002100021??? A= ??????????101111123,求 A1? . A1? = ?????????????????2112111021121 A= ???????????200200011,B=??????????300220011,且 A,B,X 滿足 (EB 1? A) .EXB ?TT 求 X,X .1? (EB 1? A) .EXB ?TT ()TTB A E? ? ?X X= ()TTBA? 1? =1 00210020 0 1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? X 1? = ()TTBA? =2 0 00 2 00 0 1? ?? ?? ?? ??? 1 =(1,1,2,4)α 2 =(0,3,1,2), α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(2,1,5,6), α 5 =(1,1,2,0)的一個(gè)極大線性無關(guān)組 . 1 0 3 2 1 1 0 3 0 11 3 0 1 1 0 1 1 0 12 1 7 5 2 0 0 0 1 14 2 14 6 0 0 0 0 0 0?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?