【正文】 ontrol Simulation Study on stability control of Inverted Pendulum， find the optimal State Feedback matrix 。它深刻地揭示了自然界的一種基本現(xiàn)象，即一個(gè)自然不穩(wěn)定的被控對象，通過人的直覺的、定性的控制手段，就可以具有良好的穩(wěn)定性。 倒立擺控制是一個(gè)經(jīng)典的控制平衡問題。倒立擺系統(tǒng)是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，是進(jìn)行 控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。工程中的許多控制問題，都和倒立擺的控制有很大的相似性，如海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、化工過程控制、步行機(jī)器人的穩(wěn)定控制等都可以用倒立擺來進(jìn)行模擬。 倒立擺研究發(fā)展現(xiàn)狀 國外對倒立擺系統(tǒng)的研究始于上世紀(jì)五十年代，麻省理工學(xué)院機(jī)電工程系的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺試驗(yàn)裝置 [4]。 1996 年 ， Lin ZL.， Gutmann M， Shamash YA， Saberi A 提出采用線性狀態(tài)反饋方法控制單級(jí)倒立擺 [12]。國內(nèi)的研究工作是從八十年代開始的， 1982 年，西安交通大學(xué)采用最優(yōu)控制和降維觀測器完成了二級(jí)倒立擺 系統(tǒng)的研制和控制 [15]。王衛(wèi)華在 1999 年，運(yùn)用專家模糊控制，實(shí)現(xiàn)了單級(jí)倒立燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 擺的動(dòng)態(tài)控制。是世界上第一個(gè)成功完成四級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)的國家。 2020 年國防科技大學(xué)羅成教授等人利用基于 LQR 的模糊插值實(shí)現(xiàn)了五級(jí)倒立擺的控制 [28]。 由許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法，相關(guān)的科研成果在航天科技和機(jī)器人學(xué)方面獲得了廣闊的應(yīng)用。 倒立擺系統(tǒng)的控制算法 早期的倒立擺控制大多采用狀態(tài)反饋，隨著智能控制理論的發(fā)展，人們逐漸將模糊控制算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論等智能控制理論用于控制倒立擺。根據(jù)對系統(tǒng)的力學(xué)分析，應(yīng)用牛頓第二定律，建立倒立擺非線性的運(yùn)動(dòng)方程 [8]，并進(jìn)行線性化，拉氏變換，得出傳遞函數(shù)，從而得到零、極點(diǎn)分布情況，根據(jù)使閉環(huán)系統(tǒng)能穩(wěn)定工作的思想設(shè)計(jì)控制器。用經(jīng)典控制理論的頻域法設(shè)計(jì)非最小相位系統(tǒng)的控制器并不需要十分精確的對象數(shù)學(xué)模型，因?yàn)橹灰刂破魇瓜到y(tǒng)具有充分大的相位裕量 [16]，就能獲得系統(tǒng)參數(shù)很寬范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。 現(xiàn)代理論控制方法 第 1章 緒論 3 用現(xiàn)代控制理論方法的前提是倒立擺在平衡點(diǎn)附近，偏移很小，系統(tǒng)可以近似用線性模型來描述。用這類控制方法對于一、二級(jí)倒立擺進(jìn)行穩(wěn)定控制，可以得到較好的效果，但對于三級(jí)及三級(jí)以上的倒立擺系統(tǒng)，有很大局限性。狀態(tài)反饋控制主 要是用 H}狀態(tài)狀態(tài)反饋 來實(shí)現(xiàn)的。 智能控制方法 智能控制是控制理論發(fā)展的高級(jí)階段，主要解決傳統(tǒng)方法難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，其中包括智能機(jī)器人系統(tǒng)，復(fù)雜的工業(yè)過程控制系統(tǒng)，航天航空控制系統(tǒng)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)以及交通運(yùn)輸系統(tǒng)等。 (1) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控 制 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所有定量與定性的信息都等勢分布貯存在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)常采用反向傳播算法來學(xué)習(xí)， BP 算法 [15]是沿著梯度下降來指導(dǎo)搜索，易于陷入局部極小值點(diǎn)，而且學(xué)習(xí)時(shí)間長甚至達(dá)不到學(xué)習(xí)的目的，求解精度不高 [8]。 無論是經(jīng)典控制理論還是現(xiàn)代控制理論，均需預(yù)先建立被控對象的數(shù)學(xué)模型。即使采用“系統(tǒng)辨識(shí)”理論，通過各種測量手段和數(shù) 據(jù)處理方法來獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，往往也是一種近似，很難獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程。這樣雖然在處理問題時(shí)比較方便，但是利用這樣的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行系統(tǒng)分析和控制的時(shí)候，其控制結(jié)果很難令人滿意，甚至?xí)a(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論或控制失敗，況且并不是所有的 經(jīng)典的模糊控制器利用模糊集合理論將專家知識(shí)或操作人員經(jīng)驗(yàn)形成的語言規(guī)則直接轉(zhuǎn)化為自動(dòng)控制策略，其設(shè)計(jì)不依靠對象精確數(shù)學(xué)模型，二是利用器語言知識(shí)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和修正控制算法。多級(jí)倒立擺是一個(gè)多變量系統(tǒng)，一般采用多個(gè)模糊控制器來實(shí)現(xiàn)。可見，常規(guī)的模糊控制器具有很大局限性。采用模糊控制理論控制倒立擺時(shí)，常將模糊控制與其他的智能控制算法相結(jié)合，如將模糊控制與 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，用遺傳算法對模糊控制器隸屬度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化等。這在具有很強(qiáng)非線性特性的倒立擺系統(tǒng)研究中具有非常明顯的局限性，大量的研究和實(shí)踐都已證明，這種近似處理方法的控制效果是不能令人滿意的。要解決倒 立擺系統(tǒng)的控制問題，需要新的方法和思路。對于非線性的倒立擺系統(tǒng)模型，智能控制方法提供了簡單有效的處理方法。 利用線性二次最優(yōu)控制對旋轉(zhuǎn)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制仿真研究，適當(dāng)選取最優(yōu)狀態(tài)加權(quán)陣，求得最優(yōu)狀態(tài)反饋陣。 利用 Matlab/Simulink工具進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)倒立擺模糊控制系統(tǒng)的仿真研究，從而成功實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)倒立擺模糊控制的仿真，仿真結(jié)果證明：所設(shè)計(jì)的模糊控制器可以實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制 。倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，也可以是傾斜的。倒立擺系統(tǒng)是一種典型的電子機(jī)械系統(tǒng)，一般具有如下的特性： (1) 不確定性 由于 模型誤差、機(jī)械傳動(dòng)間隙和各種阻力、量測噪聲及機(jī)械傳動(dòng)過程中的非線性因素等使倒立擺系統(tǒng)帶有不確定性。 (2) 藕合性 倒立擺小車與擺桿之間，多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的擺桿與擺桿之間都有很強(qiáng)的藕合關(guān)系?？梢栽谄胶恻c(diǎn)附近進(jìn)行解藕計(jì)算 [23]。也可以利用非線性控制理論進(jìn)行控制。 (4) 開環(huán)不穩(wěn)定型 倒立擺有擺桿豎直向上和垂直向下兩個(gè)平衡狀態(tài)，其中垂直向下為自然穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，開環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)離開豎直向上的狀態(tài)而進(jìn)入到豎直向下的狀態(tài)。采用欠冗余設(shè)計(jì)目的是在不失系統(tǒng)可靠性的前提下節(jié)約經(jīng)濟(jì)成本或節(jié)約有效地空間。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小，行程限制對倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。因此，該系統(tǒng)是一個(gè)雙輸入單輸出閉環(huán)控制系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)具有 2 個(gè)白由度，旋臂為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺桿為空間一般運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，鉸鏈上和直流電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的角位移傳感器將檢測到的角位移量，經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡的 A/ D 轉(zhuǎn)換送入控制計(jì)算機(jī)。 倒立擺的控制目標(biāo)：在倒立擺系統(tǒng)中 ， 擺桿的位置有豎直向上和豎直向下兩種平衡狀態(tài)。在不施加控制作用的情況下 ， 只要施加微小的擾動(dòng)就會(huì)使系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn) A 而振蕩發(fā)散。倒立擺平衡狀態(tài)的分析如圖 11 所示： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 AB 圖 11 倒立擺平衡姿態(tài) 倒立擺的控制目標(biāo)就是使倒立擺在不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)成為一個(gè)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。 數(shù)學(xué)模型的建立 對旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)倒立擺控制的基礎(chǔ)，下面對實(shí)驗(yàn)采用的單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。 ●Lrαθxy 圖 21 系統(tǒng)模型分析 由動(dòng)力學(xué)理論，擺桿質(zhì)心在 x 方向和 y 方向的速度分量為： co s ( )sin ( )xyV r LVL? ? ??????? （ 21） 方程組式 (21)給出了完整的擺桿速度描述 ， 應(yīng)用 Lagrange 方程可推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。系統(tǒng)的動(dòng)能 4 部分構(gòu)成 ， 包括 ： 旋臂在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 擺桿在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 擺桿質(zhì)心沿 x 軸方向的速度、沿 y軸方向的速度。 旋臂在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量： 211/2TJ?? （ 22） 擺桿在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量： 222/2TJ?? （ 23） 擺桿質(zhì)心沿 x 軸方向的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 23 ( c o s ( ) ) / 2T m r L? ? ??? （ 24） 擺桿質(zhì)心沿 x 軸方向的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 24 ( c o s ( ) ) / 2T m L ???? （ 25） 所以系統(tǒng)的動(dòng)能為： 2 2 2 212= / 2 + / 2 + ( c o s ( ) ) / 2 + ( c o s ( ) ) / 2T J J m r L m L? ? ? ? ? ? ??? （ 26） 設(shè) R 為擺桿長度 ， 由于 L 為 R 的一半 ， 即 R=2L。 Lagrange 方程由廣義坐標(biāo) qi 和 L 表示為： iid L L fdt q q?????????? （ 210） 在系統(tǒng)中 ， i=1， 2， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力 ， 可得方程組： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 o t eqd L L T B Mdt ??????? ? ? ????? （ 211） 0d L Ldt ???????????? （ 212） 其中 otT 為直流伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩， ( ) /o t m g i g m m g mT K K V K K R? ? ??? （ 213） 在平衡點(diǎn) ( , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0)TT? ? ? ? ? 附近，假設(shè) θ 和 α同 1 rad 相比很小，即則方程組可局部線性化為 212)4 / 3 0ot e qmr mL r T BmL mL r mgL? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?（ J （ 214） 由方程組式 (214)，代入上述相關(guān)參數(shù)，可以寫出單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性 221121221121210 1 0 00 0 0 14300443 ( )300( 4 ) ( 4 )004( 4 )3( 4 )m g i gmmm g i gmG rgJ m r J m rJ m rrGJ m r L J m r LKKVJ m r Rr K K rJ m r L R?????????????????? ???? ??????? ?????? ?????? ?????? ?????????????????????????? （ 215） 其中 2( ) /m g t g eq m mG K K B R R???? （ 214） 將系統(tǒng)各機(jī)械參數(shù)值代入式 (216)，得單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型如下： 0 1 0 0 00 0 0 1 00 1 4 .5 2 3 9 .3 2 0 2 5 .5 40 1 3 .9 8 8 1 .7 8 0 2 4 .5 9mV?????????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? （ 217） 第 2章 倒立擺系統(tǒng)的定性分析和數(shù)學(xué)建模 11 ? ?1 0 0 00 1 0 0y ? ? ? ???? ???? （ 218） 上述推導(dǎo)過程中各參數(shù)的物理意義和數(shù)值單位如下表所示。sm2 粘性阻尼系數(shù)eqB 103Nrad1 擺桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2J 104kgm 介紹了單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和組成；并分析了其工作原理，明確了倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 第 3章 倒立擺 LQR 控制器的設(shè)計(jì)與仿真 現(xiàn)代控制理論采用狀態(tài)空間法，把經(jīng)典控制理論的高階常微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，用以描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程，這種方法可以解決多輸入多輸出問題，系統(tǒng)既可以是線性的、非線性的，也可以是定常的、時(shí)變的。 最 優(yōu)控制理是現(xiàn)代控制理論的核心。這里的限制條件即約束條件是物理上對系統(tǒng)所施加的一些限制；評價(jià)函數(shù)即性能指標(biāo)，是為評價(jià)系統(tǒng)的優(yōu)劣所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，也稱為目標(biāo)函數(shù)；要尋找的控制規(guī)律也就是綜合控制器。 線性二次型性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算，使用線性二次型最優(yōu)控制器進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè) 計(jì)和校正不必根據(jù)要求的性能指標(biāo)確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，只需根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線尋找出合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可。本章利用最優(yōu) LQR 控制器方法實(shí)現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定性控制。線性二次型 (LQLinear Quadratic)是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，性能指標(biāo)函數(shù)是對象狀態(tài)變量和控制輸入變量的二次型函數(shù) [18]。其最終目標(biāo)是為系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性二次型調(diào)節(jié)器。這是因?yàn)?，二次型性能指?biāo)有較為明確的物理概念；而且采用二次型性能指標(biāo)在數(shù)學(xué)處理上比