【正文】 hamash YA， Saberi A 提出采用線性狀態(tài)反饋方法控制單級倒立擺 [12]。王衛(wèi)華在 1999 年，運(yùn)用專家模糊控制，實(shí)現(xiàn)了單級倒立燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 擺的動態(tài)控制。 2020 年國防科技大學(xué)羅成教授等人利用基于 LQR 的模糊插值實(shí)現(xiàn)了五級倒立擺的控制 [28]。 倒立擺系統(tǒng)的控制算法 早期的倒立擺控制大多采用狀態(tài)反饋，隨著智能控制理論的發(fā)展，人們逐漸將模糊控制算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論等智能控制理論用于控制倒立擺。用經(jīng)典控制理論的頻域法設(shè)計(jì)非最小相位系統(tǒng)的控制器并不需要十分精確的對象數(shù)學(xué)模型，因?yàn)橹灰刂破魇瓜到y(tǒng)具有充分大的相位裕量 [16]，就能獲得系統(tǒng)參數(shù)很寬范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。用這類控制方法對于一、二級倒立擺進(jìn)行穩(wěn)定控制，可以得到較好的效果，但對于三級及三級以上的倒立擺系統(tǒng)，有很大局限性。 智能控制方法 智能控制是控制理論發(fā)展的高級階段，主要解決傳統(tǒng)方法難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，其中包括智能機(jī)器人系統(tǒng)，復(fù)雜的工業(yè)過程控制系統(tǒng)，航天航空控制系統(tǒng)，社會經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)以及交通運(yùn)輸系統(tǒng)等。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)常采用反向傳播算法來學(xué)習(xí)， BP 算法 [15]是沿著梯度下降來指導(dǎo)搜索，易于陷入局部極小值點(diǎn)，而且學(xué)習(xí)時間長甚至達(dá)不到學(xué)習(xí)的目的，求解精度不高 [8]。即使采用“系統(tǒng)辨識”理論，通過各種測量手段和數(shù) 據(jù)處理方法來獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，往往也是一種近似，很難獲得系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程。多級倒立擺是一個多變量系統(tǒng)，一般采用多個模糊控制器來實(shí)現(xiàn)。采用模糊控制理論控制倒立擺時，常將模糊控制與其他的智能控制算法相結(jié)合，如將模糊控制與 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，用遺傳算法對模糊控制器隸屬度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化等。要解決倒 立擺系統(tǒng)的控制問題，需要新的方法和思路。 利用線性二次最優(yōu)控制對旋轉(zhuǎn)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制仿真研究，適當(dāng)選取最優(yōu)狀態(tài)加權(quán)陣，求得最優(yōu)狀態(tài)反饋陣。倒立擺的運(yùn)動軌道可以是水平的，也可以是傾斜的。 (2) 藕合性 倒立擺小車與擺桿之間，多級倒立擺系統(tǒng)的擺桿與擺桿之間都有很強(qiáng)的藕合關(guān)系。也可以利用非線性控制理論進(jìn)行控制。采用欠冗余設(shè)計(jì)目的是在不失系統(tǒng)可靠性的前提下節(jié)約經(jīng)濟(jì)成本或節(jié)約有效地空間。因此，該系統(tǒng)是一個雙輸入單輸出閉環(huán)控制系統(tǒng)。此時，鉸鏈上和直流電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的角位移傳感器將檢測到的角位移量，經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡的 A/ D 轉(zhuǎn)換送入控制計(jì)算機(jī)。在不施加控制作用的情況下 ， 只要施加微小的擾動就會使系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn) A 而振蕩發(fā)散。 數(shù)學(xué)模型的建立 對旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)倒立擺控制的基礎(chǔ)，下面對實(shí)驗(yàn)采用的單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。系統(tǒng)的動能 4 部分構(gòu)成 ， 包括 ： 旋臂在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動 ， 擺桿在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動 ， 擺桿質(zhì)心沿 x 軸方向的速度、沿 y軸方向的速度。 Lagrange 方程由廣義坐標(biāo) qi 和 L 表示為： iid L L fdt q q?????????? （ 210） 在系統(tǒng)中 ， i=1， 2， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力 ， 可得方程組： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 o t eqd L L T B Mdt ??????? ? ? ????? （ 211） 0d L Ldt ???????????? （ 212） 其中 otT 為直流伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩， ( ) /o t m g i g m m g mT K K V K K R? ? ??? （ 213） 在平衡點(diǎn) ( , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0)TT? ? ? ? ? 附近，假設(shè) θ 和 α同 1 rad 相比很小，即則方程組可局部線性化為 212)4 / 3 0ot e qmr mL r T BmL mL r mgL? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?（ J （ 214） 由方程組式 (214)，代入上述相關(guān)參數(shù)，可以寫出單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性 221121221121210 1 0 00 0 0 14300443 ( )300( 4 ) ( 4 )004( 4 )3( 4 )m g i gmmm g i gmG rgJ m r J m rJ m rrGJ m r L J m r LKKVJ m r Rr K K rJ m r L R?????????????????? ???? ??????? ?????? ?????? ?????? ?????????????????????????? （ 215） 其中 2( ) /m g t g eq m mG K K B R R???? （ 214） 將系統(tǒng)各機(jī)械參數(shù)值代入式 (216)，得單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型如下： 0 1 0 0 00 0 0 1 00 1 4 .5 2 3 9 .3 2 0 2 5 .5 40 1 3 .9 8 8 1 .7 8 0 2 4 .5 9mV?????????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? （ 217） 第 2章 倒立擺系統(tǒng)的定性分析和數(shù)學(xué)建模 11 ? ?1 0 0 00 1 0 0y ? ? ? ???? ???? （ 218） 上述推導(dǎo)過程中各參數(shù)的物理意義和數(shù)值單位如下表所示。m2 粘性阻尼系數(shù)eqB 103Nm 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 第 3章 倒立擺 LQR 控制器的設(shè)計(jì)與仿真 現(xiàn)代控制理論采用狀態(tài)空間法，把經(jīng)典控制理論的高階常微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，用以描述系統(tǒng)的動態(tài)過程，這種方法可以解決多輸入多輸出問題，系統(tǒng)既可以是線性的、非線性的，也可以是定常的、時變的。這里的限制條件即約束條件是物理上對系統(tǒng)所施加的一些限制；評價函數(shù)即性能指標(biāo)，是為評價系統(tǒng)的優(yōu)劣所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，也稱為目標(biāo)函數(shù)；要尋找的控制規(guī)律也就是綜合控制器。本章利用最優(yōu) LQR 控制器方法實(shí)現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定性控制。其最終目標(biāo)是為系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性二次型調(diào)節(jié)器。最優(yōu)控制 LQR 控制原理圖如圖所示。 綜上所述，具有二次型函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上就是在于用較小的控制能量實(shí)現(xiàn)對較小的誤差的控制，從而在能量和誤差兩方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)控制。 LQR 控制器的仿真研究 利用 LQR 方法設(shè)計(jì)控制器時，一個最關(guān) 鍵的問題就是二次型性能指標(biāo)的選取。 LQR 最優(yōu)控制器有兩個控制參數(shù)矩陣 Q， R， 通過選用不同的權(quán)重系數(shù) ， 來平衡狀態(tài)向量和輸入控制量的的權(quán)重。如果選取不當(dāng) ，則可能使求得的解不能滿足實(shí)際系統(tǒng)的性能要求。 (2) 由于采用的是經(jīng)過線性化以后的模型 ， 為使控制器有效工作，應(yīng)該使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍之內(nèi) ， 這樣就要求得到的各狀態(tài)量不應(yīng)該過大。 在 SIMULINK 中搭建的仿真模型如下所示： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 x39。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 第 4章 模糊控制原理與模糊控制器設(shè)計(jì) 模糊控制是以模糊集合、模糊語言變量及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種 計(jì)算機(jī)數(shù)字控制。 1965年，美國自動控制專家扎德 (Zadeh)首次提出一種完全不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的 Fuzzy集合論。隸屬函數(shù)表明事物 x對一模糊子集 A的隸屬程度，它的取值范圍是在閉區(qū)間在 [O， l]之間。 模糊控制系統(tǒng)的特點(diǎn) 模糊控制系統(tǒng)具有如下優(yōu)點(diǎn)： (1) 模糊控制系統(tǒng)不依賴于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，特別適宜復(fù)雜系統(tǒng) (或者 過程 )與模糊性對象等采用，因?yàn)楹茈y獲得或者根本得不到它們的精確數(shù)學(xué)模型； (2) 模糊控制系統(tǒng)的人一機(jī)界面具有一定程度的友好性，有一定操作經(jīng)驗(yàn)的而對控制理論并不熟悉的工作人員很容易掌握和學(xué)會，并且易于使用“語言”進(jìn)行人一機(jī)對話，能夠更好的為操作者提供控制信息； (3) 模糊控制系統(tǒng)的核心是模糊控制器，而模糊控制器均以計(jì)算機(jī) (微機(jī)、單片機(jī)等 )為主體，其結(jié)構(gòu)與一般的數(shù)字控制系統(tǒng)無異，模糊控制算法用件實(shí)現(xiàn)； (4) 模糊控制的知識表示、模糊規(guī)則和合成推理是基于專家知識或熟練操作者的成熟經(jīng)驗(yàn)，并通過學(xué)習(xí)可以不斷更新 ，因此，它具有智能性和自學(xué)習(xí)性； (5) 魯棒性好，無論被控對象是線性的還是非線性的，都能執(zhí)行有效的制，具有良好的魯棒性和適應(yīng)性。選擇什么樣的控制規(guī)則才是最合適的，目前還沒有一套行之有效的解決辦法； (3) 自適應(yīng) 能力有限 :控制器對系統(tǒng)的一些參數(shù)不敏感，說明模糊控制器具，有較好的魯棒性，自適應(yīng)能力有限； (4) 當(dāng)增大輸入、輸出變量數(shù)目和模糊語言變量劃分的等級時，模糊規(guī)則的。 輸 出輸 入規(guī) 則 庫 數(shù) 據(jù) 庫推 理 機(jī)模 糊 化接 口解 模 糊接 口知 識 庫 圖 41 模糊控制器結(jié)構(gòu)圖 1. 模糊化 模糊化的作用是將輸入的精確量轉(zhuǎn)換成模糊化量，將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成合適的語言值。它通常由數(shù)據(jù)庫和模糊控制規(guī)則庫兩部分組成。 4. 清晰化 清晰化的作用是將模糊推理得到的控制量 (模糊量 )變換為實(shí)際用于控制的清晰量。 開 始系 統(tǒng) 分 析輸 入 、 輸 出 物理 量 確 定控 制 器 結(jié) 構(gòu) 確 定確 定 隸 屬 度 函 數(shù)建 立 規(guī) 則 庫運(yùn) 算 子 的 確 定 及去 模 糊 方 法 的 選 擇模 擬是 否 達(dá)到 要 求結(jié) 束是否 圖 43 模糊控制器的設(shè)計(jì)流程 模糊控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)一個模糊控制器，第一步就是為模糊控制器確定一種合理的結(jié)構(gòu)，即確定模糊控制器的輸入變量和輸出變量。常見的模糊控制器的結(jié)構(gòu)有三種形式，如圖 43 所示。模糊化的過程、方法的推出是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。圖 44 給出了三種模糊化函數(shù)。這樣，對于每一個物理輸入量至少有一個模糊子集的隸屬程度大于零。一般選用“大、中、小”三個詞匯來描述模糊控制器的輸入輸出變量的狀態(tài)，由于人的行為在正、負(fù)兩個方向的判斷基木上是對稱的，將大、小再加上正、負(fù)兩個方向并考慮變量的零狀態(tài)，共有七個詞匯：即 {負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大 }。因此，模糊概念的確定問題就直接轉(zhuǎn)化為求取模糊集合隸屬函數(shù)的問題。 (1) 基于專家的經(jīng)驗(yàn)和控制工程知識。我們可以通過觀察操作人員的實(shí)際控制或記錄推出規(guī)則。因此模糊控制規(guī)則可以通過求過程模糊模型的逆。對于一些復(fù)雜系統(tǒng)，人們很難精確完整的總結(jié)處操作人員的經(jīng)驗(yàn)，即使勉強(qiáng)總結(jié)，得到的控制也 不完善，比較粗糙，很難得到理想的控制效果。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是另一種自學(xué)習(xí)的方法。常用的去模糊化計(jì)算方法有如下三種： 1. 最大隸屬度函數(shù)法 取所有規(guī)則推理結(jié)果的模糊集合中隸屬度最大那個元素作為輸出值，即 0 max ( )vv u v? vV? （ 42） 如果在輸出論域中，其最大隸屬度函數(shù)對應(yīng)的輸出值多于一個時，簡單的方法是取所有具有最大隸屬度輸出的平均值，即 0 11jjjv J v?? ? ? ?? ?maxjvv u v? ； ??Jv? （ 43） 式中 J 為具有相同最大隸屬度輸出的總數(shù)。 3. 加權(quán)平 均法 加權(quán)平均法較適合于輸出模糊集的隸屬度函數(shù)是對稱的情況，因此在模糊控制系統(tǒng)中應(yīng)用較廣泛。在 Matlab 中，可通過 setfis 設(shè)置解模糊化方法，通過 defuzz執(zhí)行反模糊化運(yùn)算。最后介紹了模糊控制器設(shè)計(jì)的一般步驟及要注意的事項(xiàng)。假設(shè)要設(shè)計(jì)高維輸入變量 X 映射到輸出變量 Y 的模糊控制器，鑒于直接設(shè)計(jì)由 X 到 Y 的單級模糊控制策略比較困難，因而可以采用多級控制方式 [9]，將單一的模糊控制策略轉(zhuǎn)化為多級控制策略嵌套： ? ?21Y F F X? ???? （ 51） 即先 使用算法 ? ?1FX對輸入變量 X 進(jìn)行初步處理，再利用算法 ??2F 根據(jù)前級算法的輸出進(jìn)行控制?；谛畔顟B(tài)變量合成的多輸入模糊控制器設(shè)計(jì)方法就是通過狀態(tài)變量合成函數(shù)進(jìn)行信息的合并和提取，從而實(shí)現(xiàn)控制問題的逐步簡化。在倒立擺系統(tǒng)中， Q， R 分別用來對狀態(tài)變量 X 和控制量 u 起的性能度量的相對重要性進(jìn)行加權(quán)，并且 Q， R參數(shù)以及跟隨速度、角速度大小的 關(guān)系是相互耦合，應(yīng)