【正文】 212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss i n))((2( 11321 ????? ?? xgmmm ?? () 22 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 23 sin 6 sin ( ) 4 6 c o s( ) 3 c o s 0g l l l x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () 將 ()、 ()式對(duì) 21,?? ?? 求解代數(shù)方程，得到以下兩式 21221312111 s i n)c o s (3s i n4s i n4s i n2(3( ??????? ?????? gmgmgmgm?? 1122212221212112 c o s2)s i n (4)s i n ()c o s (6 ????????? xmlmlm ???? ?????? /))c o s)c o s (3c o s4c o s4 22121312 ????? ???? xmxmxm ?????? )))(c os912124(2( 21223211 ?? ????? mmmml () )c os3)s i n(6s i n3())(3(94( 221211222132122 ?????? xlgllmmmm ????? ????????? /)))c oss i n))((2(3)s i n(6)(c os (32 11321212222212212 ??????? xgmmmlmllm ??? ??????? ))(c os4))(3(916(21222212222213212 ?? ????? llmllmmmm () 表示成以下形式： ),( 212111 xxxf ??????? ????? ? () ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? () 取平衡位置時(shí)各變量的初 值為零， 1 2 1 2( , , , , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0) 0A x x x? ? ? ?? ? ? () 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 15 頁(yè) 將 ()式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? () 121 3 02 1 2 3 192 ( 4 3 1 2 )Af m gK m m m l? ????? ? ? ? () 114 0 0AfK x ????? () 115 01 0AfK ? ????? () 116 02 0AfK ? ????? () 1 2 311 7 0 1 2 3 13 ( 2 4 )2 ( 4 3 1 2 )A m m mfK x m m m l? ? ? ????? ? ? ? () 得到線性化之后的公式 xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 221 0 0AfK x ????? () 1 2 3222 01 2 2 1 2 3 22 ( 2( ) )164 ( 3 ( ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ??????? ? ? ? () 1 2 3223 02 2 2 1 2 3 24 ( 3 ( ) )163 ( 4 ( 3 ( ) ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ????? ? ?? ? ? ? () 224 0 0AfK x ????? () 225 01 0AfK ? ????? () 226 02 0AfK ? ????? () 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 16 頁(yè) 1 2 3 1 2 322 7 02 2 1 2 3 242 ( 2 ( ) ) ( 3 ( )3164 ( 3 ( ) )9Am m m m m mfK xm l m m m l?? ? ? ? ?????? ? ? () 得到 xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 : xu ??? () 取狀態(tài)變量如下： ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? () 將以下參數(shù)代 入 ??????????????????21321llgmmmM 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 17 頁(yè) 求出各個(gè) K 值： 121317KKK??? 222327KKK??? 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 77. 064 2 21. 192 7 0 0 00 38. 532 1 37. 818 6 0 0 0A??????????? ??????????????????????1000B 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0C??????? 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析 穩(wěn)定性分析 二級(jí)倒立擺 的特 征方程為 : det( ) 0IA? ?? () Matlab 中，用函數(shù) eig(A)來(lái) 計(jì)算 系統(tǒng)矩陣的特征值 ， 經(jīng)過(guò)計(jì)算，系統(tǒng)的特征值 為： ? ?9 .5 9 7 2 4 .7 7 2 5 9 .5 9 7 2 4 .7 7 2 5 0 0? ? ? ? () 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于 S 平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。可控性矩陣 0T 的條件數(shù)為： 40con d ( )=4 .6 3 5 6 1 0T ? () 前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對(duì)線性化后的數(shù)學(xué)模型。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng) 設(shè)計(jì)的一種重要 工具。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下： ( ) ( )Te t Qe t 是在控制過(guò)程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價(jià)函數(shù) 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 20 頁(yè) 項(xiàng)。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分 201 ()2 ft e t dt?便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分準(zhǔn)則。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣 Q 的各 個(gè)元素；反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣 R 各個(gè)元素。 因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中 C＝ I， 及 ()ryt＝ 0，則有 ( ) ( ) ( )Y t X t e t?? () 并且倒立擺的控制是 ft ?? 時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為： 0 ()TTJ X Q X U R U d t???? () 采用反饋控制： U KX? () 其中 1 TK R B P??? () 其中 0。 加權(quán) 陣 Q、 R的選擇 在利用 LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最關(guān)鍵的問(wèn)題是二次型性能指標(biāo)的選取。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對(duì)角陣。 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 22 頁(yè) 第 4 章 遺傳算法 遺傳算法 (Geic Algorithms，簡(jiǎn)稱(chēng) GA)是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法 [18]。 而遺傳算法不受問(wèn)題性質(zhì)的限制，可以在巨大的空間上實(shí)行概率性搜索，能在搜索的過(guò)程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的指示，并自適應(yīng)地控制搜索過(guò)程，以求得最優(yōu)解或較優(yōu)解。越來(lái)越多的研究人員開(kāi) 始研究用遺傳算法及其改進(jìn)算法解決控制領(lǐng)域中的難題。 遺傳算法的基本理論 遺傳算法最早是由美國(guó) Michigan大學(xué)的 John Holland和他的同事及學(xué) 生提出的。不適應(yīng)環(huán)境的基因被淘汰，具有競(jìng)爭(zhēng)力的個(gè)體則生存 下來(lái)并得以繁衍后代。這樣，經(jīng)過(guò)很多代的進(jìn)化，最后存活的個(gè)體必定 是最適應(yīng)環(huán)境的，其生存能力最強(qiáng)。在實(shí)際應(yīng)用中，可結(jié)合具體領(lǐng)域知識(shí)和問(wèn)題特征對(duì) SGA進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng) SGA的功能和解決問(wèn)題的能力，以形成各式各樣 的具體的 GA。適應(yīng)度為大于零的實(shí)數(shù)，適應(yīng)度越大表示生存能力越強(qiáng)。選擇采用輪盤(pán)賭方法，當(dāng)群體適應(yīng)度差異非常大時(shí)，最佳個(gè)體的生存機(jī)會(huì)顯著增高，較差個(gè)體的生 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 24 頁(yè) 存機(jī)會(huì)被剝奪，使最佳個(gè)體很快充滿(mǎn)整個(gè)群體。另外，針對(duì)不同問(wèn)題，僅采用單點(diǎn)交叉和基本位變異的方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，帶動(dòng)群體進(jìn)化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對(duì)整個(gè) GA的影響捆當(dāng)大，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題選擇設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牟僮鞣绞?。接著產(chǎn)生初解群，即串或個(gè)體的集合。 這是從群體中選擇出較適應(yīng)環(huán)境的個(gè) 體。適應(yīng)度準(zhǔn)則體現(xiàn)了適者生存，不適應(yīng)者淘汰的自然法則。這樣，就產(chǎn)生了對(duì)環(huán)境適應(yīng)能力較強(qiáng)的后代。交叉時(shí)，可實(shí)行單點(diǎn)交叉或多點(diǎn)交叉。在變異時(shí)，對(duì)執(zhí)行變異的串的對(duì)應(yīng)位求反，即把 1 變?yōu)?0，把 0 變?yōu)?1。但是，它能保證算法過(guò)程不會(huì)產(chǎn)生無(wú)法進(jìn)化的單一群體。否則，用經(jīng)過(guò)選擇、交叉、變異所得到的新一代群體取代上一代群體，并返回到第 2 步即選擇操作處繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。遺傳算法從初始群體開(kāi)始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。 大連海洋 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 26 頁(yè) 的容錯(cuò)能力。 、交叉和變異都是隨機(jī)操作，而不是確定的精確規(guī)則。串長(zhǎng)度及編碼形式對(duì)算法收斂影響極大。群體大小 M 太小時(shí)難以求出最優(yōu)解，太大則延長(zhǎng)收斂時(shí)間，一般情況下專(zhuān)家建議n=20~200。將 Q 矩陣的對(duì)角線 6 個(gè)元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長(zhǎng)度為 10 位的二進(jìn)制編碼串來(lái)分別表示這 6 個(gè)參數(shù)，然后將這些二進(jìn)制編碼串連接在一起，組成一個(gè) 610 位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串；取 R =； 。設(shè)群體大小為 80，最大迭代次數(shù)為 200，交叉概率選為 ，變異概率選為 并隨機(jī)產(chǎn)生初始群體； 。 圖 二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 ? ?1 2 3 Ty x x x? ，即小車(chē)的位移，一級(jí)、二級(jí)擺與豎直方向的夾