【正文】 212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss i n))((2( 11321 ????? ?? xgmmm ?? () 22 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 23 sin 6 sin ( ) 4 6 c o s( ) 3 c o s 0g l l l x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () 將 ()、 ()式對 21,?? ?? 求解代數(shù)方程，得到以下兩式 21221312111 s i n)c o s (3s i n4s i n4s i n2(3( ??????? ?????? gmgmgmgm?? 1122212221212112 c o s2)s i n (4)s i n ()c o s (6 ????????? xmlmlm ???? ?????? /))c o s)c o s (3c o s4c o s4 22121312 ????? ???? xmxmxm ?????? )))(c os912124(2( 21223211 ?? ????? mmmml () )c os3)s i n(6s i n3())(3(94( 221211222132122 ?????? xlgllmmmm ????? ????????? /)))c oss i n))((2(3)s i n(6)(c os (32 11321212222212212 ??????? xgmmmlmllm ??? ??????? ))(c os4))(3(916(21222212222213212 ?? ????? llmllmmmm () 表示成以下形式： ),( 212111 xxxf ??????? ????? ? () ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? () 取平衡位置時各變量的初 值為零， 1 2 1 2( , , , , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0) 0A x x x? ? ? ?? ? ? () 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 15 頁 將 ()式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? () 121 3 02 1 2 3 192 ( 4 3 1 2 )Af m gK m m m l? ????? ? ? ? () 114 0 0AfK x ????? () 115 01 0AfK ? ????? () 116 02 0AfK ? ????? () 1 2 311 7 0 1 2 3 13 ( 2 4 )2 ( 4 3 1 2 )A m m mfK x m m m l? ? ? ????? ? ? ? () 得到線性化之后的公式 xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 221 0 0AfK x ????? () 1 2 3222 01 2 2 1 2 3 22 ( 2( ) )164 ( 3 ( ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ??????? ? ? ? () 1 2 3223 02 2 2 1 2 3 24 ( 3 ( ) )163 ( 4 ( 3 ( ) ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ????? ? ?? ? ? ? () 224 0 0AfK x ????? () 225 01 0AfK ? ????? () 226 02 0AfK ? ????? () 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 16 頁 1 2 3 1 2 322 7 02 2 1 2 3 242 ( 2 ( ) ) ( 3 ( )3164 ( 3 ( ) )9Am m m m m mfK xm l m m m l?? ? ? ? ?????? ? ? () 得到 xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程 : xu ??? () 取狀態(tài)變量如下： ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? () 將以下參數(shù)代 入 ??????????????????21321llgmmmM 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 17 頁 求出各個 K 值： 121317KKK??? 222327KKK??? 得到狀態(tài)方程各個參數(shù)矩陣： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 77. 064 2 21. 192 7 0 0 00 38. 532 1 37. 818 6 0 0 0A??????????? ??????????????????????1000B 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0C??????? 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析 穩(wěn)定性分析 二級倒立擺 的特 征方程為 : det( ) 0IA? ?? () Matlab 中，用函數(shù) eig(A)來 計算 系統(tǒng)矩陣的特征值 ， 經(jīng)過計算，系統(tǒng)的特征值 為： ? ?9 .5 9 7 2 4 .7 7 2 5 9 .5 9 7 2 4 .7 7 2 5 0 0? ? ? ? () 開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點位于 S 平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？煽匦跃仃?0T 的條件數(shù)為： 40con d ( )=4 .6 3 5 6 1 0T ? () 前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對線性化后的數(shù)學模型。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng) 設(shè)計的一種重要 工具。其中各項所表示的物理意義簡述如下： ( ) ( )Te t Qe t 是在控制過程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價函數(shù) 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 20 頁 項。于是，上述代價函數(shù)的積分 201 ()2 ft e t dt?便是在古典控制理論中熟悉的用以評價系統(tǒng)性能的誤差平方積分準則。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣 Q 的各 個元素；反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣 R 各個元素。 因為在倒立擺系統(tǒng)中 C＝ I， 及 ()ryt＝ 0，則有 ( ) ( ) ( )Y t X t e t?? () 并且倒立擺的控制是 ft ?? 時線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標函數(shù)可以等價為： 0 ()TTJ X Q X U R U d t???? () 采用反饋控制： U KX? () 其中 1 TK R B P??? () 其中 0。 加權(quán) 陣 Q、 R的選擇 在利用 LQR方法設(shè)計控制器時，一個最關(guān)鍵的問題是二次型性能指標的選取。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對角陣。 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 22 頁 第 4 章 遺傳算法 遺傳算法 (Geic Algorithms，簡稱 GA)是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機制的隨機搜索算法 [18]。 而遺傳算法不受問題性質(zhì)的限制，可以在巨大的空間上實行概率性搜索，能在搜索的過程中自動獲取和積累有關(guān)搜索空間的指示，并自適應(yīng)地控制搜索過程，以求得最優(yōu)解或較優(yōu)解。越來越多的研究人員開 始研究用遺傳算法及其改進算法解決控制領(lǐng)域中的難題。 遺傳算法的基本理論 遺傳算法最早是由美國 Michigan大學的 John Holland和他的同事及學 生提出的。不適應(yīng)環(huán)境的基因被淘汰，具有競爭力的個體則生存 下來并得以繁衍后代。這樣，經(jīng)過很多代的進化，最后存活的個體必定 是最適應(yīng)環(huán)境的，其生存能力最強。在實際應(yīng)用中，可結(jié)合具體領(lǐng)域知識和問題特征對 SGA進行改進，增強 SGA的功能和解決問題的能力，以形成各式各樣 的具體的 GA。適應(yīng)度為大于零的實數(shù)，適應(yīng)度越大表示生存能力越強。選擇采用輪盤賭方法，當群體適應(yīng)度差異非常大時，最佳個體的生存機會顯著增高，較差個體的生 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 24 頁 存機會被剝奪，使最佳個體很快充滿整個群體。另外，針對不同問題，僅采用單點交叉和基本位變異的方法是遠遠不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，帶動群體進化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對整個 GA的影響捆當大，應(yīng)根據(jù)具體問題選擇設(shè)計適當?shù)牟僮鞣绞?。接著產(chǎn)生初解群，即串或個體的集合。 這是從群體中選擇出較適應(yīng)環(huán)境的個 體。適應(yīng)度準則體現(xiàn)了適者生存，不適應(yīng)者淘汰的自然法則。這樣，就產(chǎn)生了對環(huán)境適應(yīng)能力較強的后代。交叉時，可實行單點交叉或多點交叉。在變異時，對執(zhí)行變異的串的對應(yīng)位求反，即把 1 變?yōu)?0，把 0 變?yōu)?1。但是，它能保證算法過程不會產(chǎn)生無法進化的單一群體。否則，用經(jīng)過選擇、交叉、變異所得到的新一代群體取代上一代群體，并返回到第 2 步即選擇操作處繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。遺傳算法從初始群體開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。 大連海洋 大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 26 頁 的容錯能力。 、交叉和變異都是隨機操作，而不是確定的精確規(guī)則。串長度及編碼形式對算法收斂影響極大。群體大小 M 太小時難以求出最優(yōu)解，太大則延長收斂時間，一般情況下專家建議n=20~200。將 Q 矩陣的對角線 6 個元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長度為 10 位的二進制編碼串來分別表示這 6 個參數(shù)，然后將這些二進制編碼串連接在一起，組成一個 610 位長的二進制編碼串；取 R =； 。設(shè)群體大小為 80，最大迭代次數(shù)為 200，交叉概率選為 ，變異概率選為 并隨機產(chǎn)生初始群體； 。 圖 二級倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 ? ?1 2 3 Ty x x x? ，即小車的位移，一級、二級擺與豎直方向的夾