【正文】 一階倒立擺控制作為驗證某種控制理論或方法的典型方案，美國、日本、俄羅斯、瑞士等很多國家的科研機構(gòu)都對倒立擺進行了很多的研究，提出了很多的控制算法，日本的科研工作者在 1977 年成功的實現(xiàn)了平面倒立擺的控制，獲得了非常好的控制效果，與此同時， 等設(shè)計了類 PI模糊控制應(yīng)用于一階倒立擺控制，具有系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單對硬件依賴小的特 點，并且具有很好的魯棒性。 本論文的研究內(nèi)容和所用方法 一階倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位置和擺桿的擺動角，依據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓定理，建立小車在水平方向運動方程和擺桿運動方程，并進行線性化和拉式變換得出傳遞函數(shù)模型，從而得到倒立擺的狀態(tài)方程。 系統(tǒng)建立模型： 一階倒立擺的物理模型如圖 ： 圖 一階倒立擺的物理模型 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下： 0m 小車的質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 ? 桿與垂直向下方向的夾角 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 4 一階倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)分析 根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)微分方程，轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積等于作用于剛體主動力對該軸力矩的代數(shù)和，則 ①擺桿繞其重心的轉(zhuǎn)動方程為 sin c o syxJ F l F l? ? ??? （ ） ②擺桿重心的水平運動可描述為 ? ?22 s inx dF m x ldt ??? （ ） ③擺桿重心在垂直方向上的運動 可描述為 ? ?22 c o sy dF m g m ldt ??? （ ） ④小車水平方向運動可描述為 20 2Xx dF F m dt?? （ ） 有式（ ）和式（ ）可得 ? ? ? ?20 c o s s inF m m x m l ? ? ? ??? ? ? ? ? （ ） 有式（ ）、式（ ）和式（ ）得 ? ?2 c o s sinJ m l m l x m g l? ? ?? ? ? ? （ ） 整理式（ ）和式（ ），得 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2 2 2 2 22 2 2 202 2 202 2 2 20si n si n c osc osc os si n c os si nc osJ ml F l m J ml m l gxJ ml m m m lml F m l m m mglm l m m J ml? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ???? ? ? ? ????? ? ?? () 因為擺桿是均質(zhì)細桿，所以可以求其對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)為 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 7 1234xxXx xx x???? ???? ???? ?????? ???? ?????? 則有一階倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程為 112233440 1 0 0 029 .5 5 0 0 0 4. 280 0 0 1 01. 23 0 0 0 1. 42xxX F A X B Fxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? () 輸出方程為 12341 0 0 00 0 1 0xxY CXxxx?????? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? () 一階倒立擺定性分析 在得到一階倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，為了進一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一般可以應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。反之，如果控制系統(tǒng)受到擾動作用后，其瞬態(tài)響應(yīng)隨時間的推移而發(fā)散， 輸出呈持續(xù)振蕩過程，或者輸出無限本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 8 制地偏離平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 線性定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) x Ax Buy Cx?????? 狀態(tài)完全可觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可觀性矩陣： ? ? 10 nT T T T TC A C A CQ ???? ???? 的秩為滿秩，則該系統(tǒng)才是能觀測的。 直線一階倒立擺系 統(tǒng)的特征方程為 ? ?det λ I A = 0,經(jīng)過計算得到系統(tǒng)的特征根為： 0 0 ????。 ① 雙擊打開 Simulink 模塊中的 “ Sources” 模塊。 如圖 。 圖 一階直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖 光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和 運動控制卡，光電碼盤 2 用來檢測擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號。它是控制系統(tǒng)的核心部件，主要功能為產(chǎn)生定時中斷、采集系統(tǒng)狀態(tài)量、計算機控制量，相當(dāng)于一個實時控制器。包括向 運動控制器發(fā)出的運動控制指令，并通過該接口獲取運動控制器的當(dāng)前狀態(tài)和相關(guān)控制參數(shù)。 交流伺服電機驅(qū)動器型號為 MSDA023A1A型小慣量電機驅(qū)動器，額定輸入電壓：200230V，額定輸入電流： ，功率： 200W,輸出電流： ，控制電壓 U=（ 035）v。編碼器是一種角度傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應(yīng)式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環(huán)控制系統(tǒng)中最常用的位置傳感器。 增量式光電編碼器的定子安裝在電機定子 上，轉(zhuǎn)動部分與電機轉(zhuǎn)子同軸連接。另外光電編碼器還有一路零位脈沖 Z，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一圈只產(chǎn)生一個零位脈沖，通常用來指示機械位置或?qū)鄯e量清零。由于光電編碼器輸出的檢測信號是數(shù)字信號，因此可以直接進入計算機進行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過程，使用非常方便，因此應(yīng)用越來越廣泛。調(diào)節(jié)特性是指電機轉(zhuǎn)矩一定時，轉(zhuǎn)速隨控制電壓的變化關(guān)系。這樣，電機的轉(zhuǎn)速便能隨著控制電壓的改變而迅速變化。從此，模糊控制理論及其模糊控制系統(tǒng)的應(yīng)用發(fā)展很快，在控制領(lǐng)域中展現(xiàn)出廣闊的前景。 模糊控制理論的基本概念 模糊集合的概念是 1965年 Zadeh在其著名的論文“ Fuzzy sets” 中最早提出的，其定義為： 設(shè) X 是對象 x的集合， x 是 X 的任意元素。 上述定義表明，論域 F 上的模糊子集 A 由隸屬度函數(shù) Aμ(f) 來表征， Aμ(f) 的取值范圍為閉區(qū)間為 [0,1], Aμ(f) 的大小反應(yīng)了 f對于模糊子集 A 的隸屬程度。按定義，模糊 集合的隸屬函數(shù)可取無窮多個值，這在實際應(yīng)用中是難以確定的，所以一般可以進行如下簡化：把最大適合區(qū)間的隸屬度定為 ，最小的隸屬度定為本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 3 模糊控制的基本原理 16 。設(shè)任意元素，則 u對 A與 B的交集、并集和的 A的補集的隸屬函數(shù)分別定義如下： 交運算： ? ?( ) m in ( ) , ( )A B A Bu u u??? ? 并運算： ? ?( ) m a x ( ) , ( )A B A Bu u u??? ? 補運算： 1 ( )AA uuu?? 模糊規(guī)則與模糊推理 ①模糊規(guī)則 模糊系統(tǒng)本質(zhì)上是一個基于規(guī)則的專家系統(tǒng)，它包括一組“ ifthen”形式的語言規(guī)則。 ②模糊推理 模糊推理是一種近似推理，就是根據(jù)已知的一些命題，按照一定的法則，去推斷一個新的命題的思維過程和思維方式。本文中主要用的是 Mamdani 型模糊推理算法。 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 3 模糊控制的基本原理 17 模糊控制系統(tǒng)的組成 根據(jù)模糊控 制系統(tǒng)的定義，模糊控制系統(tǒng)具有常規(guī)計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，如圖 ，由圖可知，模糊控制系統(tǒng)通常由模糊控制器、輸入 /輸出接口、執(zhí)行機構(gòu)、被控對象和測量裝置等五個部分組成。 ②執(zhí)行機構(gòu)：除了電氣的以外，如各類交、直流電動機，伺服電動機，步進電動機等，還有氣動的和液壓的，如各類氣動調(diào)節(jié)閥和液壓馬達、液壓閥等。 ④輸入 輸出 (I/O)接口：在實際系統(tǒng)中，由于多數(shù)被控對象的控制量及其可觀測狀態(tài)量都是模擬量。它在模糊控制系統(tǒng)中占有十分重要的地位，其精度往往直接本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 3 模糊控制的基本原理 18 影響整個系統(tǒng)的性能指標(biāo)，因此要求其精度高、可靠且穩(wěn)定性好。 ③模糊控制系 統(tǒng)的核心是模糊控制器。模 糊控制器也稱為模糊邏輯控制器，由于其所采用的模糊控制規(guī)則是由模糊理論中模糊條件語句來描述的，因此模糊控制器是一種語言型控制器，故也稱為模糊語言控制器。 ②推理機制（ inference engine） ：它執(zhí)行所有的輸出計算。模糊控制系統(tǒng)往往把一個被控制量（通常是系統(tǒng)輸出量）的偏差、偏差變化以及偏差變化的變化率作為模糊控制器的輸入。一維模糊控制器的輸入變量往往選擇為受控變量和輸入給定的偏差量 e。二維模糊控制器的兩個輸入變量基本上都選用受控變量和輸入給定的偏差 e 和偏差變化 ec，由于它們能夠較嚴(yán)格地反映受控過程中輸出變量的動態(tài)特性，因此在控制效果上要比一維模糊控制器好得多，也是目前采用較廣泛的一類模糊控制器。由于這類模糊控制器結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，推理運算 時間長，因此除非對動態(tài)特性的要求特別高的場合，一般較少選用三維模糊控制器。 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計 21 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計 建立雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng) 一階倒立擺控制系統(tǒng)共有四個狀態(tài)變量 ( , , , )xx?? ，它們均可以作為控制器的輸入?yún)⒘俊Ｍ瑯釉趯⒚總€輸入變量定義為 5 個模糊子集的情況下，每個控制器的控制規(guī)則總數(shù)最多只有25 條，同時，每條規(guī)則只有兩個前件（條件）和一個后件（結(jié)論）。隸屬函數(shù)的確定應(yīng)該是反映出客觀模糊現(xiàn)象的具體特點要符合客觀規(guī)律而不是主觀臆想的，但是一方面由于模糊本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計 22 現(xiàn)象本身存在差異，而另一方面由于每個人在專家知識、實踐經(jīng)驗、判斷能力等方面各有所長。通常在一般應(yīng)用時，只需要采用一兩種常用的隸屬度函數(shù)就可以達到很好的效果。經(jīng)過這樣的定義后系統(tǒng)的模糊化和解模糊過程將變得十分簡單。在這種情況下，可以借助經(jīng)驗公式設(shè)計控制規(guī)則：將五個模糊子集 nb,ns,z,ps,pb 分別用數(shù)值 2， 1,0， 1， 2 代換，則結(jié)論的數(shù)字大約為兩個前件數(shù)值代數(shù)和的一半。解模糊的目的是根據(jù)模糊推理的結(jié)果，求得最能反映控制量的真實分布。 ②最大隸屬度法 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計 25 這種方法最簡單，只要在推理結(jié)論的模糊集合中取隸屬度最大的那個元素作為輸出量即可。 由于在一階倒立擺雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)和外環(huán)模糊控制器的輸出量的隸屬函數(shù)均為單點集，所以這里采用重心法解模糊的單點公式作為解模糊算法。 ②作直乘運算求出 ( , )ijD x y ? ?( , ) ( ) ( ) ( ) / ,? ? ? ? ? ?ij i j i j i jD x y A x B y x y x x y y 1, 2 , , 1, 2 ,??i m j n 直乘運算規(guī)則：按矩 陣直乘規(guī)則，對應(yīng)元素相乘時隸屬度取小。 1 , 2 , , 。 ⑥ 模糊判決，求控制量的量化值 *ijF max *?????ij ijFF ()ijFz經(jīng)過模糊判斷，采用最大隸屬度原則，求出 *ijF ，即為 2~2 之 間的量化值。目前，它已成為世界上應(yīng)用最為廣泛的工程計算軟件之一。 MATLAB 的主要特點 MATLAB 的基本單位為矩陣，其表達式與數(shù)學(xué)、工程計算中常用的形式類似?？梢园褦?shù)據(jù)以多種形式加以表現(xiàn)，非常簡單、直觀、方便，具有極強的可擴展性。 模糊邏輯工具箱中的圖形用戶界面 (GUI)提供了五個圖形化工具來創(chuàng)建模糊推理系統(tǒng)。 圖 模糊推理系統(tǒng)編輯器的圖形界面 本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 5 一階倒立擺系統(tǒng)仿真及其分析 30 一階倒立擺模糊控制系統(tǒng)仿真實驗 建立 Simulink 仿真模型 利用 Simulink 基本模塊庫和 Fuzzy Logic Toolbox 建立仿真模型。單擊輸入變量“ input2”模塊，再在“ Current Variable”區(qū)中“ Name”編輯框里，填入 ec1,回車得到新命名。 ②編輯覆蓋的