【正文】 ft Windows 操作系統(tǒng)。 MATLAB 以它的 “語言 ”化的數(shù)值計(jì)算，強(qiáng)大的矩陣處理及繪圖功能，以及靈活的可擴(kuò)充性和產(chǎn)業(yè)化的開發(fā)思路，很快就為自動(dòng)控制界的研究人員所矚目。 1990 年 ,Math Works 軟件公司為 MATLAB 提供了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具 Simulink。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。同時(shí)有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于 Simulink。 Simulink 可以用連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 3 統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。 Simulinkamp。對(duì)各種時(shí)變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號(hào)處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)、仿真、執(zhí)行和測(cè)試。 Simulink 與 MATLABamp。 另外，模型輸入與仿真環(huán)境 Simulink 更使 MATLAB 為控制系統(tǒng)的仿真與在 CAD中的應(yīng)用開辟了嶄新的局面，使 MATLAB 成為目前國際上最流行的控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件工具。 主要內(nèi)容 本 文 以一 級(jí) 倒立擺為被控對(duì)象，用古典控制理論設(shè)計(jì)控制器（ PID 控制器）的設(shè)計(jì)方法和用現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)控制器（極點(diǎn)配置）的設(shè)計(jì)方法 ， 包括三方面的內(nèi)容： （ 1）建立直線一級(jí)倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； （ 2）倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器設(shè)計(jì)、 MATLAB 仿真； （ 3）倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)、 MATLAB 仿真。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 4 小 車滑 軌皮 帶電 機(jī)擺 桿 圖 21 一階倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖 系統(tǒng)組成框圖如圖 22 所示 。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，擺桿的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤 2 反饋給運(yùn)動(dòng)控制卡。 3 直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo) 采用牛頓－歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 5 圖 31 直線一級(jí)倒立擺模型 本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下： M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 32 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng) 中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向?yàn)槭噶空较颉? 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? (38) 微分方程模型 設(shè) ??? ?? ， 當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ， 0)( 2 ?dtd? 。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ 310）的第一個(gè)方程，可以得到 : )(])([)( 22 ssgmlmlIsX ???? (311) 或 : ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ??? (312) 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? (313) 把上式代入方程組（ 310）的第二個(gè)方程，得到 : )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? (314) 整理后得到以輸入力 u 為輸入量，以擺桿擺角 ? 為輸出量的傳遞函數(shù)： 224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q? ???? ? ? (315) 其中 : ])())([( 22 mlmlImMq ???? 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 8 狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： DuCXY BuAXX ?? ??? (316) 方程組 (39)對(duì) ???,x 解代數(shù)方程，得到如下解： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMm g lxM mlmMIm l buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(??????????????? (317) 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010???????????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (318) 由 (39)的第一個(gè)方程為： ? ?2I m l m gl m lx??? ? ? 對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 213I ml? 于是可以得到： 2213 m l m l m g l m lx????? ? ????? 化簡得到： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 9 3344g xll???? (319) 設(shè) TX x x ????? ??， ux?? ， 則有： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0330 0 044x xx xugll????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ?? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ????? ????? ? ? ?? ? ? ? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (320) 實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： M 小車質(zhì)量 Kg m 擺桿質(zhì)量 Kg b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 kg*m*m 把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析 上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在 MATLAB 中鍵入以下命令： clear。0 0 0 0。0 0 0]。 C=[1 0 0 0。 D=[0 0]39。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 11 得到如下計(jì)算結(jié)果： 圖 33 直線一級(jí)倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真 可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 m = 。 I = 。 l = 。 A = [0 1 0 0。 0 0 0 1。 (I+m*l^2)/p。 m*l/p] 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 12 C = [1 0 0 0。 0]。 U = *ones(size(T))。 plot(T,Y)。 grid。 m = 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 13 I = 。 l = 。 num = [m*l/q 0 0]。 [r,p,k] = residue(num,den)。 t=0::5。 axis([0 1 0 60])。 運(yùn)行后得到如圖的仿真結(jié)果：