【正文】 在倒立擺系統(tǒng)中， Q， R 分別用來對(duì)狀態(tài)變量 X 和控制量 u 起的性能度量的相對(duì)重要性進(jìn)行加權(quán)，并且 Q， R參數(shù)以及跟隨速度、角速度大小的 關(guān)系是相互耦合，應(yīng)綜合選取。假設(shè)要設(shè)計(jì)高維輸入變量 X 映射到輸出變量 Y 的模糊控制器，鑒于直接設(shè)計(jì)由 X 到 Y 的單級(jí)模糊控制策略比較困難，因而可以采用多級(jí)控制方式 [9]，將單一的模糊控制策略轉(zhuǎn)化為多級(jí)控制策略嵌套： ? ?21Y F F X? ???? （ 51） 即先 使用算法 ? ?1FX對(duì)輸入變量 X 進(jìn)行初步處理，再利用算法 ??2F 根據(jù)前級(jí)算法的輸出進(jìn)行控制。在 Matlab 中，可通過 setfis 設(shè)置解模糊化方法，通過 defuzz執(zhí)行反模糊化運(yùn)算。常用的去模糊化計(jì)算方法有如下三種： 1. 最大隸屬度函數(shù)法 取所有規(guī)則推理結(jié)果的模糊集合中隸屬度最大那個(gè)元素作為輸出值，即 0 max ( )vv u v? vV? （ 42） 如果在輸出論域中，其最大隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)的輸出值多于一個(gè)時(shí)，簡(jiǎn)單的方法是取所有具有最大隸屬度輸出的平均值，即 0 11jjjv J v?? ? ? ?? ?maxjvv u v? ； ??Jv? （ 43） 式中 J 為具有相同最大隸屬度輸出的總數(shù)。對(duì)于一些復(fù)雜系統(tǒng)，人們很難精確完整的總結(jié)處操作人員的經(jīng)驗(yàn)，即使勉強(qiáng)總結(jié)，得到的控制也 不完善，比較粗糙，很難得到理想的控制效果。我們可以通過觀察操作人員的實(shí)際控制或記錄推出規(guī)則。因此，模糊概念的確定問題就直接轉(zhuǎn)化為求取模糊集合隸屬函數(shù)的問題。這樣，對(duì)于每一個(gè)物理輸入量至少有一個(gè)模糊子集的隸屬程度大于零。模糊化的過程、方法的推出是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。 開 始系 統(tǒng) 分 析輸 入 、 輸 出 物理 量 確 定控 制 器 結(jié) 構(gòu) 確 定確 定 隸 屬 度 函 數(shù)建 立 規(guī) 則 庫(kù)運(yùn) 算 子 的 確 定 及去 模 糊 方 法 的 選 擇模 擬是 否 達(dá)到 要 求結(jié) 束是否 圖 43 模糊控制器的設(shè)計(jì)流程 模糊控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)一個(gè)模糊控制器，第一步就是為模糊控制器確定一種合理的結(jié)構(gòu)，即確定模糊控制器的輸入變量和輸出變量。它通常由數(shù)據(jù)庫(kù)和模糊控制規(guī)則庫(kù)兩部分組成。選擇什么樣的控制規(guī)則才是最合適的，目前還沒有一套行之有效的解決辦法； (3) 自適應(yīng) 能力有限 :控制器對(duì)系統(tǒng)的一些參數(shù)不敏感，說明模糊控制器具，有較好的魯棒性，自適應(yīng)能力有限； (4) 當(dāng)增大輸入、輸出變量數(shù)目和模糊語(yǔ)言變量劃分的等級(jí)時(shí)，模糊規(guī)則的。隸屬函數(shù)表明事物 x對(duì)一模糊子集 A的隸屬程度，它的取值范圍是在閉區(qū)間在 [O， l]之間。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 第 4章 模糊控制原理與模糊控制器設(shè)計(jì) 模糊控制是以模糊集合、模糊語(yǔ)言變量及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種 計(jì)算機(jī)數(shù)字控制。 (2) 由于采用的是經(jīng)過線性化以后的模型 ， 為使控制器有效工作，應(yīng)該使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍之內(nèi) ， 這樣就要求得到的各狀態(tài)量不應(yīng)該過大。 LQR 最優(yōu)控制器有兩個(gè)控制參數(shù)矩陣 Q， R， 通過選用不同的權(quán)重系數(shù) ， 來平衡狀態(tài)向量和輸入控制量的的權(quán)重。 綜上所述，具有二次型函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上就是在于用較小的控制能量實(shí)現(xiàn)對(duì)較小的誤差的控制，從而在能量和誤差兩方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)控制。其最終目標(biāo)是為系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性二次型調(diào)節(jié)器。這里的限制條件即約束條件是物理上對(duì)系統(tǒng)所施加的一些限制；評(píng)價(jià)函數(shù)即性能指標(biāo)，是為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的優(yōu)劣所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，也稱為目標(biāo)函數(shù)；要尋找的控制規(guī)律也就是綜合控制器。m Lagrange 方程由廣義坐標(biāo) qi 和 L 表示為： iid L L fdt q q?????????? （ 210） 在系統(tǒng)中 ， i=1， 2， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力 ， 可得方程組： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 o t eqd L L T B Mdt ??????? ? ? ????? （ 211） 0d L Ldt ???????????? （ 212） 其中 otT 為直流伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩， ( ) /o t m g i g m m g mT K K V K K R? ? ??? （ 213） 在平衡點(diǎn) ( , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0)TT? ? ? ? ? 附近，假設(shè) θ 和 α同 1 rad 相比很小，即則方程組可局部線性化為 212)4 / 3 0ot e qmr mL r T BmL mL r mgL? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?（ J （ 214） 由方程組式 (214)，代入上述相關(guān)參數(shù)，可以寫出單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性 221121221121210 1 0 00 0 0 14300443 ( )300( 4 ) ( 4 )004( 4 )3( 4 )m g i gmmm g i gmG rgJ m r J m rJ m rrGJ m r L J m r LKKVJ m r Rr K K rJ m r L R?????????????????? ???? ??????? ?????? ?????? ?????? ?????????????????????????? （ 215） 其中 2( ) /m g t g eq m mG K K B R R???? （ 214） 將系統(tǒng)各機(jī)械參數(shù)值代入式 (216)，得單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型如下： 0 1 0 0 00 0 0 1 00 1 4 .5 2 3 9 .3 2 0 2 5 .5 40 1 3 .9 8 8 1 .7 8 0 2 4 .5 9mV?????????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? （ 217） 第 2章 倒立擺系統(tǒng)的定性分析和數(shù)學(xué)建模 11 ? ?1 0 0 00 1 0 0y ? ? ? ???? ???? （ 218） 上述推導(dǎo)過程中各參數(shù)的物理意義和數(shù)值單位如下表所示。 數(shù)學(xué)模型的建立 對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)倒立擺控制的基礎(chǔ)，下面對(duì)實(shí)驗(yàn)采用的單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。此時(shí)，鉸鏈上和直流電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的角位移傳感器將檢測(cè)到的角位移量，經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡的 A/ D 轉(zhuǎn)換送入控制計(jì)算機(jī)。采用欠冗余設(shè)計(jì)目的是在不失系統(tǒng)可靠性的前提下節(jié)約經(jīng)濟(jì)成本或節(jié)約有效地空間。 (2) 藕合性 倒立擺小車與擺桿之間，多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的擺桿與擺桿之間都有很強(qiáng)的藕合關(guān)系。 利用線性二次最優(yōu)控制對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制仿真研究，適當(dāng)選取最優(yōu)狀態(tài)加權(quán)陣，求得最優(yōu)狀態(tài)反饋陣。采用模糊控制理論控制倒立擺時(shí)，常將模糊控制與其他的智能控制算法相結(jié)合，如將模糊控制與 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，用遺傳算法對(duì)模糊控制器隸屬度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化等。即使采用“系統(tǒng)辨識(shí)”理論，通過各種測(cè)量手段和數(shù) 據(jù)處理方法來獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，往往也是一種近似，很難獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程。 智能控制方法 智能控制是控制理論發(fā)展的高級(jí)階段，主要解決傳統(tǒng)方法難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，其中包括智能機(jī)器人系統(tǒng)，復(fù)雜的工業(yè)過程控制系統(tǒng)，航天航空控制系統(tǒng)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)以及交通運(yùn)輸系統(tǒng)等。用經(jīng)典控制理論的頻域法設(shè)計(jì)非最小相位系統(tǒng)的控制器并不需要十分精確的對(duì)象數(shù)學(xué)模型，因?yàn)橹灰刂破魇瓜到y(tǒng)具有充分大的相位裕量 [16]，就能獲得系統(tǒng)參數(shù)很寬范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。 2020 年國(guó)防科技大學(xué)羅成教授等人利用基于 LQR 的模糊插值實(shí)現(xiàn)了五級(jí)倒立擺的控制 [28]。 1996 年 ， Lin ZL.， Gutmann M， Shamash YA， Saberi A 提出采用線性狀態(tài)反饋方法控制單級(jí)倒立擺 [12]。 倒立擺控制是一個(gè)經(jīng)典的控制平衡問題。論文主要工作如下： 采用用拉格朗日方程建模法建立旋轉(zhuǎn)式倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其線性化得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。首先利用線性二次最優(yōu)控制對(duì)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制仿真研究，求得最優(yōu)狀態(tài)反饋陣；為了解決控制中的“規(guī)則爆炸”問題，引入了融合技術(shù)。許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來 [2]。 2020 年 ， Seong Ik Han， Jong Shik Kim， Jae Weon Choi 應(yīng)用非線性魯棒 H∞ 控制平行倒立擺?，F(xiàn)在的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與預(yù)測(cè)控制算法的接合理論，擬人智能控制理論 ，云模型控制理論。但是，由于經(jīng)典控制理論本身的局限性，它只能 用來控制一級(jí)倒立擺，對(duì)于復(fù)雜的二級(jí)、三級(jí)倒立擺卻無能為力。而基于包含模糊邏輯、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法 [22]在內(nèi)的智能控制是當(dāng)前自動(dòng)化學(xué)科中最火熱的研究領(lǐng)域之一。有時(shí)為了數(shù)學(xué)上處理方便，往往簡(jiǎn)化系統(tǒng)的模型，采用模型近似化、線性化、高階系統(tǒng)降階手段 [6]。 (3) 擬人智能控制 其基本思想就是在控制過程中，利用計(jì)算機(jī)模擬人的控制行為 [19]，最大限度地識(shí)別和利用控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程所提供的特征信息，進(jìn)行啟發(fā)和直覺推理，在線推理確定控制策略，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)缺乏數(shù)學(xué)模型的控制對(duì)象進(jìn)行有效地控制。運(yùn)用最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)最優(yōu)狀態(tài)變量合成函數(shù)，減少模糊控制器輸入變量的維數(shù)，成功解決了“規(guī)則爆炸問題”，分析量化因子對(duì)控制效果的影響，提升模糊控制器的性能品質(zhì)。這是可以采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)倒立擺系統(tǒng)的原因，也使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)變得復(fù)雜。 (6) 約束限制 由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動(dòng) 模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。再經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡的 D/ A 轉(zhuǎn)換以及功率放大器放大后加載于直流伺服電機(jī)，驅(qū)動(dòng)旋臂在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使擺桿保持倒立平衡姿態(tài)。如圖 3 所示，在忽略各種 阻力和摩擦的條件下，旋臂和擺桿可以抽象為的 2 個(gè)勻質(zhì)桿，其中旋臂長(zhǎng)度為 r，相對(duì)其水平方向零位的角位移為 θ；擺桿質(zhì)心與鉸鏈距離為 L，相對(duì)其豎直方向零位的角位移為 α。 表 21 系統(tǒng)物理參數(shù) 表 擺桿質(zhì)量 M 反向電勢(shì)系數(shù)mK 103VA1 變 速 器 效 率g? 90% 本章小結(jié) 本章對(duì)倒立擺系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析。在實(shí)行具體的控制時(shí)，有必要選擇某一種控制方式，是性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值，這就是最優(yōu)控制。 第 3章 倒立擺 LQR控制器的設(shè)計(jì)與仿真 13 LQR 調(diào)節(jié)器在工程實(shí)際中應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制是非常普遍的。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 為使 J 最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為 ： *1( ) ( ) ( )Tu t R B P t x t??? （ 33） 式中，矩陣 P(t)為黎卡提矩陣微分方程： 1( ) A A ( ) ( )TP P t P t B R P t Q?? ? ? （ 34） 的解。權(quán)重矩陣 Q、 R 的各個(gè)參數(shù)是相互耦合的 ， 一般情況 下 ， Q 和 R 由工程人員根據(jù)經(jīng)驗(yàn)主觀臆斷決定 ， 不同的權(quán)重矩陣會(huì)得到不同控制效果。 (3) 也要注意加權(quán)矩陣 R 矩陣不要過小 ， 否則會(huì)導(dǎo)致控制量的增大。模糊控制不需要被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，而是基于專家的知識(shí)和操作者的經(jīng)驗(yàn)建立模糊控制模型，通過模糊邏輯推理完成 控制決策過程，最后實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的調(diào)節(jié)控制。由于隸屬函數(shù)的取值在 [O， 1]之間可有無窮多個(gè)取值，而不同于特征函數(shù)的二值邏輯，因此隸屬函數(shù)這一概念更加符合人類的自然語(yǔ)言。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 模糊控制器基本原理 模糊控制系統(tǒng)的接口與常規(guī)的數(shù)字計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是相似的，不同之處在于它的控制器是模糊控制器。 第 4章 模糊控制原理與模糊控制器設(shè)計(jì) 21 ①數(shù)據(jù)庫(kù)主要包括語(yǔ)言變量的隸屬函數(shù) [17]，尺度變換因子及模糊空間的分級(jí)數(shù)等； ②規(guī)則庫(kù)包括了用模糊語(yǔ)言變量表示的一系列控制規(guī)則。而究竟選擇哪些變量作為模糊控制器的輸入輸出量，還必須深入研究手動(dòng)控制，分析人是如何獲取并輸出信息的，因?yàn)槟：刂破鞯目刂埔?guī)則歸根到底還 是模擬人腦的思維決策方式。模糊化過程