【正文】 ocess。 in the vicinity of the equilibrium point hypothesis, the linearization of the model。 model by Adams dynamics modeling and simulation, the pendulum rod speed, the displacement of the car and the car acceleration as a function of image, and the output of the simulation animation. On the gain of the controller in addition to the perturbation of non fragile robust control problems。為開展控制控制理論實驗提供了理想的教學平臺。的許多典型問題：例如魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題、跟蹤問題以及非線性問題等[1]。此外，它的控制方法在航天航空、軍工、機器人以及一般的工業(yè)過程中具有廣泛的應用，如運載火箭在發(fā)射時的垂直度控制、各種機器人行走過程中的平衡控制和太空中衛(wèi)星飛行所需的姿態(tài)控制等。所以，倒立擺原理的深入研究具有重要的理論和實際意義，也必將成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實踐，并且可以促成相互間的有機結(jié)合。一種控制理論的正確性和在實際應用中的可行性的驗證，在控制理論發(fā)展的過程中，通常是將一個按其理論設計的控制器用于控制一個典型對象進而根據(jù)結(jié)果驗證這一理論。最初分析研究倒立擺控制系統(tǒng)是在二十世紀的五十年代，它是穩(wěn)定控制中控制理論應用的一個典型范例，一次繼續(xù)研究倒立擺控制系統(tǒng)一來可以解決控制中的理論性問題，二來也能將控制理論涉及的相關(guān)主要學科進行綜合應用，如：數(shù)學、機械、電學、計算機和力學等。理論是工程的先導，倒立擺控制系統(tǒng)提供一個橋梁使控制理論通過實踐不斷應用于工程領(lǐng)域。由于大多數(shù)的工程系統(tǒng)都在變化的環(huán)境中運行，系統(tǒng)不確定性是普遍存的，不可能用精確的數(shù)學模型描述系統(tǒng)中的動態(tài)特性，這是不現(xiàn)實的。魯棒控制卻能夠?qū)崿F(xiàn)這些目標。試圖描述被控對象模型的不確定性是魯棒控制的核心，且能估計達到控制目標所留有的自由度，即使在某些特定界限下[2]。例如：代步車運行過程中的平衡控制和高精度零件的加工；航空對接控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制；飛機安全著陸、起重平臺的穩(wěn)定控制和航空運載的姿態(tài)控制；海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、造船領(lǐng)域控制等。而在中國也有主要的三所高校：北師大、北航[3]和中科大[4]。目前，在專家和學者的不斷研究及創(chuàng)新下出現(xiàn)了不少成果，各式各樣類型倒立擺相繼問世。其它一些生產(chǎn)廠家還包括（韓國）奧格斯科技發(fā)展有限公司（FT4820型倒立擺）、保定航空技術(shù)實業(yè)有限公司等。未來，在工程實際中，特別是平衡控制領(lǐng)域，倒立擺的應用將越來越廣泛。當時Cannon等人應用BangBang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置研究平衡控制問題。幾年后，倒立擺就被作為一個典型的不穩(wěn)定、非線性系統(tǒng)而提出。早期的研究以直線倒立擺建模和擺桿控制為主線，也就是一直被關(guān)注的鎮(zhèn)定問題。90年代以后，神經(jīng)網(wǎng)絡控制倒立擺的研究取得成功，突破了傳統(tǒng)控制思想的桎梏，開啟了一個全新的領(lǐng)域，取得了許多重要成果。(2)利用倒立擺控制系統(tǒng)的實時控制能夠使宇宙飛船等飛行器在飛行過程中，保持正確的姿態(tài)。(4)海上勘探石油鉆井平臺的穩(wěn)定性控制應用倒立擺原理，為了使鉆孔方向垂直，必須能自動地保鉆井平臺的穩(wěn)定，消除大幅震動。所以對倒立擺控制理論的研究有豐富的工程價值。按照時間的先后順序，首先是1932年Nyquist提出的基于Nyquist曲線的頻域穩(wěn)定性判據(jù)，闡述了反饋增益和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，使魯棒控制原理變得清晰明了。由于魯棒控制的早期研究主要研究在系統(tǒng)的不確定性是微小的參數(shù)攝動情形，尚屬靈敏度分析的范疇，具有廣泛的局限性。到了20世紀七十年代的時候，魯棒控制初步的推廣了MIMIO成果，將SISO系統(tǒng)的靈敏度分析結(jié)果進行有效利用[7]，另一方面，魯棒控制問題的重要性在控制論領(lǐng)域引入狀態(tài)空間理論后，進一步發(fā)展、完善了系統(tǒng)控制。1971年Davion的論文中首次出現(xiàn)了魯棒控制理論的說法[10]，而首先將魯棒控制寫進論文標題是從1974年P(guān)earson等人開始的[11]。Nyquist判據(jù)在多變量系統(tǒng)中的推廣、Youla參數(shù)化方法和有理函數(shù)矩陣分解等基礎(chǔ)理論的進展直接影響著魯棒控制的發(fā)展。尤其是1981年，魯棒控制理論框架基本形成，且提出了最優(yōu)靈敏度控制方法[12]。同年，Doyle和Stein提出了在頻域內(nèi)進行回路成形，使得控制系統(tǒng)設計過程中的許多性能指標，包括魯棒穩(wěn)定性問題都可以表達為特定閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)。簡單地說，魯棒控制處理的是具有不確定性的被控對象，包括模型參數(shù)變化、外部擾動、模型與實際系統(tǒng)差異和執(zhí)行器的誤差等等。雖然在倒立擺中還沒有充分展開魯棒控制算法的研究工作，但根據(jù)已有的一些研究成果進行推斷，面向不確定性的研究對象將成為魯棒控制領(lǐng)域不變的發(fā)展方向。倒立擺是一個典型研究對象，它能夠有效的驗證控制理論的正確性和在實際應用中的可行性，是理論研究和創(chuàng)新的試金石。任何的控制理論和方法，都要求控制對象的精確模型或要求對象模型的不確定性和外界干擾滿足特殊的假定。因而傳統(tǒng)控制理論與實際工程應用之間的契合存在較大的差距。在20世紀六十年代，狀態(tài)空間方法長足發(fā)展，后來被稱為現(xiàn)代控制理論出現(xiàn)在文獻中，以KalmanBucy濾波器和最優(yōu)二次調(diào)節(jié)理論為基礎(chǔ)的LQG反饋設計(控制)方法相繼問世。原因可歸結(jié)為兩個方面。由于上述原因，導致LQG設計方法在理論上做得相當成熟，卻不能有效的投入到實際應用當中。對于一個單輸入、輸出系統(tǒng)的設計：這類問題屬于一個特殊的干擾信號，存在于有限能量的信號集中。有限輸入能到輸出能的最大增益可以用傳遞函數(shù)的范效來進行描述，所以對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計的目標函數(shù)用影響傳遞函數(shù)的正細范數(shù)來表示，就可以將有限功率譜干擾對影響系統(tǒng)期望輸出的成都降到最低?？刂评碚摰陌l(fā)展過程是漫長的，可以系統(tǒng)的描述為三個階段。1981年到1984年期間，逼近法和插值法是研究控制理論的主要使方法。通常所說的“1984年方法”是當時Doyle和Glover等人在Honeywell公司的控制研討會上，對控制理論進行總結(jié)，從而形成的。在此期間發(fā)現(xiàn)許多控制問題都可統(tǒng)一于標準問題，包括靈敏度極小化問題、混合靈敏度優(yōu)化問題、兩自由度問題、濾波問題、魯棒鎮(zhèn)定問題、跟蹤問題和模型匹配問題等。翌年，在全美控制年會上美國控制領(lǐng)域著名學者Doyle和英國學者Glover等發(fā)表了著名的“2Riccati方程”解法，這一成果的問世證明了控制問題可以通過求解兩個適當?shù)拇鷶?shù)黎卡提方程來得到。在這段飛速發(fā)展的時期里，標準控制問題解法的研究成果層出不窮，有Green等的J譜分解方法、控制問題解法、Kimura的基于無損分解理論以及微分對策方法、極大值原理方法等幾種純時域解法。控制問題的純時域解法除了能夠解決系統(tǒng)的線性時不變問題，還可以用來處理非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、奇異攝動系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)等的控制問題。第二章 預備知識在多種控制理論與方法的研究和應用中，特別是在工程實踐中，存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗，倒立擺裝置作為一個從控制理論通往實踐的橋梁，在自動控制理論中倒立擺裝置是各界學者公認的典型教學設備，是控制理論教學中具有代表性的被控科研對象，通過實施控制手段發(fā)揮控制系統(tǒng)的性能，可使之具有良好的穩(wěn)定性。在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)可以用倒立擺的種類有：懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。倒立擺控制系統(tǒng)由倒立擺本體、包括運動控制卡和PC機在內(nèi)的控制平臺和電控箱三大部分組成。19世紀80年代俄國數(shù)學家Lyapunov創(chuàng)建的。特別適合用于研究屬于“力學中的數(shù)學方法”。當時，不管有多小，在時，如果，始終有，也就是說初始值的微小變化極大的影響了解的誤差，而當時，與“零”解的誤差不超過初始誤差，且隨著值增加很快消失。這表明時式中的“零”解是穩(wěn)定的。假設以下微分方程 （）滿足“解存在唯一”這個條件，它的解的存在區(qū)間是還滿足條件： （）保證了x(t)=0是（）式的解，我們稱它為“零”解。Lyapunov直接法[13]（即第二法）探討的是一個二維自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)過提煉概括合理分析語言，在原始幾何思想的基礎(chǔ)之上，給出了一條穩(wěn)定性定理、一條漸近穩(wěn)定性定理和兩條不穩(wěn)定性定理。（a）穩(wěn)定性定理將目標系統(tǒng)狀態(tài)方程設為，且是它的平衡態(tài)。隨著有，當前情況下系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)：1）若為負定的,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的；2）再者，隨著，有，那么該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)：1) 為正定的，則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的；2) 若為非負定（不包括半負定）的，且對任意的和任意的，在時不恒為零，那么該平衡態(tài)也是不穩(wěn)定的。先設計 負定（或半負定），然后積分求出，來看是否正定。先試探構(gòu)造出正定的函數(shù)（或變號），然后沿系統(tǒng)解對函數(shù)求導數(shù)，看條件能否保證負定、半負定。目前，大部分函數(shù)的構(gòu)造，都是用這種試探湊合法?；贚MI方法研究的通常做法是:將系統(tǒng)與控制理論中的各類問題轉(zhuǎn)化為標準的線性矩陣不等式問題,以達到求解的目的。 工具箱介紹線性矩陣不等式（LMI）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性能軟件包。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進行數(shù)值求解。 以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；216。 修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；216。 驗證結(jié)果。輸入“LIMEDT”出現(xiàn)一個具有一些可編輯文本區(qū)域和各種按鈕的窗戶。在文本編輯區(qū)，使用一行描述一個變量。例如，線性矩陣不等式 LIMEDT的圖形界面 （）可以通過輸入 （）來描述。一個線性矩陣不等式的描述可能需要幾行，但一行中最多只能描述一個線性矩陣不等式。在應用控制理論進行控制系統(tǒng)設計的過程中，首先必須獲取系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)學模型。此外，控制系統(tǒng)也較為復雜，為了設計和計算上的可行性，往往會對系統(tǒng)的模型進行適當?shù)男薷?、簡化。不確定性的存在是一切被控對象的共性，而如何處理被控對象的不確定性一直是個有待研究的問題；魯棒控制則是目前克服不確定性進行有效控制的主要手段。自60年代以來，魯棒控制理論的研究取得了巨大的進展，并在三個主要方面研究中逐步走向成熟：頻率域方法、多項式代數(shù)方法和時域(狀態(tài)空間)方法?，F(xiàn)代魯棒控制理論的建立和成熟在很大程度上得益于60年代里兩個重要結(jié)論的提出：一個是Zames的小增益原理，另一個是Kalman證明了SIS0系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋控制具有很好的魯棒性，即無窮大增益裕量和60度相位穩(wěn)定裕量。80年代，Safonov，Zames和Doyle等學者為魯棒控制理論的發(fā)展做出了新的突破。優(yōu)化控制器設計方法具有如下幾個優(yōu)點：第一，魯棒控制器設計問題被賦予了一個清晰而堅實的理論基礎(chǔ)；第二，盡管它回到了輸入輸出模型，然而實際設計時保留了狀態(tài)空間方法中某些計算上的優(yōu)點；第三，設計者可以在相當大的程度上控制閉環(huán)系統(tǒng)的頻率域響應形狀，從而使該方法易被工程師們所接受。b)多項式代數(shù)方法關(guān)于參數(shù)攝動不確定性系統(tǒng)的魯棒性分析較有成效的結(jié)果是Kharitonov定理?？傊訩haritonov定理為代表的多項式代數(shù)方法為參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯捧控制問題研究提供了強有力的工具，但其基本上局限于魯棒穩(wěn)定性分析，對于參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯捧鎮(zhèn)定問題，沒有什么滿意的結(jié)果。但Lyapunov方法對于常實參數(shù)攝動來說，所得結(jié)果非常保守；此外，由于Lyapunov方法的充分性，所得結(jié)果優(yōu)劣常常取決于Lyapunov函數(shù)的選取，但到底用什么方法來確保所選的Lyapunov函數(shù)能夠滿足要求，或者選取什么樣的Lyapunov函數(shù)最好，至今為止仍不清楚。對于時域魯棒鎮(zhèn)定問題，不確定性系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性及相應的魯棒鎮(zhèn)定控制器設計方法、魯棒二次鎮(zhèn)定、同時鎮(zhèn)定等問題都得到了深入的研究取得了一系列研究成果，但還有待進一步的完善和發(fā)展。隨著人類活動空間的不斷擴大，被控對象種類的增多，控制裝置的復雜化，加上實際工程對控制精度要求的不斷提高，使得傳統(tǒng)的以線性模型來研究非線性對象的方法已不能滿足需要。總之，魯棒控制理論提出了從根本上解決被控對象模型不確定和外界擾動不確定性問題的有效方法。MATLAB語言是目前工程應用與科學計算上流行比較廣泛的科學語言，它具有強大的數(shù)據(jù)處理、方便的圖形可視化、簡捷的語法結(jié)構(gòu)及高效的編程能力等特點。和BASIC 一樣，它簡單易用程序可用作便箋簿求打在命令行處表達式的值。在MATLAB 集成開發(fā)環(huán)境下，程序可以方便的編寫，修改和調(diào)試。許多的編程工具使得MATLAB 十分簡單易用。2． 平臺獨立性MATLAB 支持許多的操作系統(tǒng)，提供了大量的平臺獨立的措施。在一個平臺上編寫的程序，在其它平臺上一樣可以正常運行，在一個平臺上編寫的數(shù)據(jù)文件在其它平臺上一樣可以編譯。