【正文】 ikelihood method )是值選擇使事件發(fā)生概率最大的可能情況的參數(shù)估計(jì)方法。 一、似然函數(shù) 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是多個(gè)獨(dú)立事件的概率函數(shù)的乘積，該乘積是概率函數(shù)值，它是關(guān)于總體參數(shù)的函數(shù)。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是每個(gè)獨(dú)立隨機(jī)觀測(cè)值的概率密度函數(shù)的乘積，則似然函數(shù)為： )；()；()；()；，()(?????nnyfyfyfyyyLL??2121?? (812) 二、極大似然估計(jì) 所謂 極大似然估計(jì) 就是指使似然函數(shù)為最大以獲得總體參數(shù)估計(jì)的方法。 為了計(jì)算上的方便，一般將似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，稱為 對(duì)數(shù)似然函數(shù) ，因?yàn)槿?duì)數(shù)后似然函數(shù)由乘積變?yōu)榧邮?，其表達(dá)式為： ????ni inyfyyyLL121,lnlnln )()；，()( ??? ?(814) 由此獲得總體參數(shù)的極大似然估計(jì)量。 )，( 2??N)，( 2??N似然函數(shù)為： ? ? ??????????????????????niinniiyyL12222122221ex p21]2ex p [21??????????)()，(取對(duì)數(shù)，得： ???????niiynnL1222221ln22ln2ln )()()，( ??????那么似然方程組為： ?????????????????????niniynLyL1242221220212ln01ln)()，()()，(???????????解得： ???????????????niiniiynyyn122111)( ??? 因此，正態(tài)分布總體平均數(shù)的極大似然估計(jì)量為： 當(dāng)總體平均值為未知時(shí)，方差估計(jì)量為 : ????nii yyn11??當(dāng)總體平均值為已知時(shí)，方差估計(jì)量為 : ????nii yyn122 1? )(?????niiyn122 1? )( ??[例 ] 求紅、白、黑球事例中 p1， p2， p3的極大似然估計(jì)值。 分別求 對(duì) p1， p2的偏導(dǎo)數(shù)，并令為 0，得似然方程組： )1，( 2121ln ppppL ???????????????????????????????0111424)1 ln01114121 ln2122121221121211)(，()()，(pppppppLppppppppLp聯(lián)立求解，得： 257?,2512?256? 321 /p/p/p ??? ,顯然，極大似然估計(jì)值 等于其觀測(cè)頻率。 表 F2群體基因型的分離情況 基 因 型 A_B_ A_bb aaB_ aabb 總數(shù) 觀察得到基因型個(gè)數(shù) c(289) d(26) e(29) f(76) n(420) 概 率 1 412 2)( r??411 2)( r??411 2)( r??41 2)( r? 首先，通過(guò)表 F2群體16種基因型的概率計(jì)算出 4種表現(xiàn)型的概率 (表 )。15) 若以 代入上式，則似然函數(shù)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為： 21 )( r???fedcfedcnrL???????????? ??????? ??????? ??4414142 ????!!!!!)(]4l n []41l n [)(]42l n [)(ln ???? fedckL ???????(k是常數(shù)項(xiàng) ) (817) 對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)為 0，可得方程： 012 ?????? ??? fedc上式化解為一元二次方程 02222 ?????? ffed ?? )(nfnfedcfedc282222? 2 ????????? )()(? (8 ????1? ??r重組率方差估計(jì)量為： )(1))(()(????22?2?1?????nrD(8 三、關(guān)于三種估計(jì)方法的討論 上述 3種參數(shù)估計(jì)方法對(duì)比： (1)對(duì)于總體平均數(shù)的估計(jì)量， 3種估計(jì)方法都具有無(wú)偏性、有效性和相合性； (2)對(duì)于總體方差的估計(jì)量，由離均差平方和期望值所得的是無(wú)偏的，但由矩法和極大似然法所得兩種估計(jì)量是有偏的，但都是相合的；最小二乘法無(wú)直接的總體方差估計(jì)量。 (2)另外兩種方法對(duì)分布沒(méi)有嚴(yán)格的要求。 (2)最小二乘法在估計(jì)線性回歸模型參數(shù)時(shí)具有靈活方便的特點(diǎn)。 第九章 直線回歸和相關(guān) ? 第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概念 ? 第二節(jié) 直線回歸 ? 第三節(jié) 直線相關(guān) ? 第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系 和應(yīng)用要點(diǎn) ? 第五節(jié) 協(xié)方差分析 ? 引言 這一章研究的對(duì)象： ? 由 一個(gè)變數(shù) 兩個(gè)或多個(gè)變數(shù) ，因?yàn)樵趯?shí)際生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所要研究的變數(shù)往往不止一個(gè)，例如： ? 研究溫度高低和作物發(fā)育進(jìn)度快慢的關(guān)系，就有溫度和發(fā)育進(jìn)度兩個(gè)變數(shù)； ? 研究每畝穗數(shù)、每穗粒數(shù)和每畝產(chǎn)量的關(guān)系，就有穗數(shù)、粒數(shù)和產(chǎn)量三個(gè)變數(shù)。其不包含誤差的干擾。例如，作物的產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，兩類變數(shù)受誤差的干擾表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)關(guān)系。 ? 相關(guān)關(guān)系 ：呈現(xiàn)一種共同變化的特點(diǎn)，則稱這兩個(gè)變數(shù)間存在。 為 Y 依 X 的回歸方程 (regression equation of Y on X )。計(jì)算表示 Y 和 X 相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)數(shù)，并測(cè)驗(yàn)其顯著性。12… m ；在兩個(gè)變數(shù)曲線相關(guān)時(shí)稱為相關(guān)指數(shù)(correlation index)，記作 R。 ? 4. 兩個(gè)變數(shù)資料的散點(diǎn)圖 ? 對(duì)具有統(tǒng)計(jì)關(guān)系的兩個(gè)變數(shù)的資料進(jìn)行初步考察的簡(jiǎn)便而有效的方法，是將這兩個(gè)變數(shù)的 n對(duì)觀察值 (x1， y1)、 (x2， y2)、 … 、 (xn， yn)分別以坐標(biāo)點(diǎn)的形式標(biāo)記于同一直角坐標(biāo)平面上，獲得散點(diǎn)圖 (scatter diagram)。 ? 例如圖 3幅散點(diǎn)圖，圖 的生物產(chǎn)量 (X )和稻谷產(chǎn)量 (Y )，圖 米土地上的總穎花數(shù) (X )和結(jié)實(shí)率 (Y )，圖 最高葉面積指數(shù) (X )和每畝稻谷產(chǎn)量 (Y )。② 圖 ，圖 ；因此，圖 X 和 Y 相關(guān)的密切程度必高于圖 。 x，生物產(chǎn)量 (g) 水稻單株生物產(chǎn)量與稻谷產(chǎn)量的散點(diǎn)圖 x，每 m2穎花數(shù) (萬(wàn) ) 水稻每 m2穎花數(shù)和結(jié)實(shí)率的散點(diǎn)圖 x，最高葉面積指數(shù) 水稻最高葉面積指數(shù)和畝產(chǎn)量的散點(diǎn)圖 第二節(jié) 直線回歸 ? 一、直線回歸方程 ? 二、直線回歸的假設(shè)測(cè)驗(yàn)和區(qū)間估計(jì) ? 三、直線回歸的矩陣求解 一、直線回歸方程 (一 )直線回歸方程式 (9 ? 回歸系數(shù) (regression coefficient） ： b是 x 每增加一個(gè)單位數(shù)時(shí)，平均地將要增加 (b＞ 0時(shí) )或減少 (b＜ 0時(shí) )的單位數(shù)。2) xSSSPxxyyxxxnxyxnxyb ???????????????22 )())(()(112)(? xxbybxxbyy ?????? )((94) 將 (91)可得： y ① ② ③ ① a0,b0 ② a0,b0 ③ a0,b0 x 直線回歸方程的圖象 ? 由 (9 xyx y? (二 )直線回歸方程的計(jì)算 ? [例 ] 一些夏季害蟲(chóng)盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關(guān) 。度 )和水稻一代三化螟盛發(fā)期(y， 以 5月 10日為 0)的關(guān)系 ， 得結(jié)果于表 。 ? 首先由表 6個(gè)一級(jí)數(shù)據(jù) (即由觀察值直接算得的數(shù)據(jù) )： x累積溫 y盛發(fā)期 12 16 9 2 7 3 13 9 1 表 累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系 ?x? 2x?y2? yyx?n = 9 =++…+= =++…+ 2= =12+16+…+( 1)=70 =122+162+…+( 1)2=794 =( 12)+( 16)+…+[ (1)]= 然后，由一級(jí)數(shù)據(jù)算得 5個(gè)二級(jí)數(shù)據(jù)： ? ?? nxx 22 )(? ?? nyy 22 )(????? nyxyx?x ?? nx?y ?? ny SSx = =()2/9 = =794(70)2/9 = ( 70)/9= 70/9= *SSy = SP= ?xSSSP /xby ?因而有： b= [天 /(旬 度時(shí)，一代三化螟的盛發(fā)期平均將提早 ；若積溫為 0，則一代三化螟的盛發(fā)期將在 6月 27— 28日 (x=0時(shí)， =；因 y是以 5月 10日為 0，故 6月 27— 28日）。 = y?? 所以，在應(yīng)用 =，需限定 x的區(qū)間為 [， ]；如要在 x＜ ＞ 延，則必須有新的依據(jù)。 ? 方法：制作直線回歸圖時(shí)，首先以 x為橫坐標(biāo)，以 y為縱坐標(biāo)構(gòu)建直角坐標(biāo)系 (縱、橫坐標(biāo)皆需標(biāo)明名稱和單位 )；然后取 x坐標(biāo)上的一個(gè)小值 x1代入回歸方程得 ，取一個(gè)大值 x2代入回歸方程得 ，連接坐標(biāo)點(diǎn) (x1， )和 (x2， )即成一條回歸直線。在圖 定 (， )和 (， )這兩個(gè)點(diǎn)，再連接之，即為 =。最后，將實(shí)測(cè)的各對(duì) (xi， yi)數(shù)值也用坐標(biāo)點(diǎn)標(biāo)于圖 。如某年3月下旬至 4月中旬的積溫為 40旬 因?yàn)榛貧w直線是綜合 9年結(jié)果而得出的一般趨勢(shì)，所以其代表性比任何一個(gè)實(shí)際的坐標(biāo)點(diǎn)都好。 y?? (四 )直線回歸的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤 ? Q 就是誤差的一種度量，稱為 離回歸平方和 (sum of squares due to deviation from regression)或剩余平方和 。5) (96B) (96D) ? (五 )直線回歸的數(shù)學(xué)模型和基本假定 ? 直線回歸模型中， Y 總體的每一個(gè)值由以下三部分組成： ①回歸截距 ， ②回歸系數(shù) ， ③ Y變數(shù)的隨機(jī)誤差 。相應(yīng)的樣本線性組成為： ? ??jjj XY ??? ???(98) ? 回歸分析時(shí)的假定 ： ? (1) Y 變數(shù)是隨機(jī)變數(shù)，而 X 變數(shù)則是沒(méi)有誤差的固定變數(shù)，至少和 Y 變數(shù)比較起來(lái) X 的誤差小到可以忽略。9)