【正文】 學 習 過程中，我 發(fā)現(xiàn)矩陣的初等變換有許多應(yīng)用，幾乎貫穿著始終。 雖然這些計算格式有不少類似之處，但是 也指出由于這些計算格式有不同的 原理， 所以 它們 的應(yīng)用 也有一些明顯的 區(qū)別。 初等行、列變換統(tǒng)稱為初等變換。 定理 1：對 m? n 矩陣 A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣 B，等于以一個相應(yīng)的m 階（ n 階）初等矩陣左（右）乘 A。由于側(cè)重實際應(yīng)用方面， 在 表述方面 著重講清基本概念、原理和計算方法，避免繁瑣 、冗長 的理論推導和證明，力求簡明準確； 將 抽象的理論，從具體問題入手， 通過典型例題對基本概念、所 涉及的 方法進行融會貫通。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。 定義 1：在 m? n 矩陣 A中，任取 k 行 k 列（ k? m， k? n），位于這些行列交叉處的 2k個元素，不改變它們在 A中所處的位置次序二而得到的 k 階行列式，稱為 A的 k 階子式。 定理 1：初等變換不改變矩陣的秩。 例 1 求矩陣 A 的秩， A=1 2 1 0 22 4 2 6 62 1 0 2 33 3 3 3 4???????????。 所以由推論得： A的秩為 3。 解： A=1 2 3 13 2 1 12 0 2 15 2 7 3?????????213141( 3)( 2)( 5)rrrrrr??????1 2 3 10 8 8 20 4 4 10 8 8 2????? ? ?? ? ???? ? ???32421()2( 1)rrrr????1 2 3 10 8 8 20 0 0 00 0 0 0???????????=B 所以 r（ B） =2， r（ A） =r（ B） =2。 判斷矩陣是否可逆及 求逆矩陣 可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來求一個矩陣 的 逆矩陣工作量非常大。 利用初等變換判定矩陣為可逆陣的方法有： 1） 滿秩法： n 階矩陣 A為可逆陣的充要條件是 r（ A） =n。 定理 1： 矩陣 A為可逆矩陣的充分必要條件是 A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。 解： 1）滿秩法： A=?????????????145243121213135rrrr??1 2 10 2 10 14 6?????????237rr?1 2 10 2 10 0 1?????????， 所以 r（ A） =3，即矩陣 A為滿秩，故矩陣 A可逆。 一種求逆的方法：將分塊矩陣 ? ?AE 進行行初等變換，當前面一塊變成單位矩陣時，后 面一塊就是 1A? 。 解： 因為 A= 1 5 21 3 13 4 1??????????? 有 1 5 2 1 0 01 3 1 0 1 03 4 1 0 0 1???????????21313rrrr??1 5 2 1 0 00 2 1 1 1 00 11 5 3 0 1???????????325rr? 1 5 2 1 0 00 2 1 1 1 00 1 0 2 5 1??????????23rr?1 5 2 1 0 00 1 0 2 5 10 2 1 1 1 0??????????322rr? 1 5 2 1 0 00 1 0 2 5 10 0 1 5 11 2?????????3 ( 1)r??1 5 2 1 0 00 1 0 2 5 10 0 1 5 11 2??????? ? ???131225rrrr?? 1 0 0 1 3 10 1 0 2 5 10 0 1 5 11 2????? ? ??? 所以 1A? = 1 3 12 5 15 11 2????? ? ???。 例 3 已知矩陣 A= 2 4 11 5 21 1 1?????????可逆，用列初等變換法求 1A? 。 在用初等變換法求逆的過程中，或從始至終只作行的初等變換，或從始至終只作列初等變換。 判斷線性方程組解 的狀況 齊次線性方程組有個明顯的零解 x=0，稱其為平凡解。 定理 1： n 元齊次 線性方程組 Ax=0 有 非零 解的充分且必要條件 為 它的系數(shù)矩陣 的秩 r（ A） n。 定理 2： n 元非齊次 線性方程組 Ax=b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣 A的秩等于增廣解陣的秩。當 r（ A）小于 r（ B）時，方程組無解；當 r（ A）等于 r（ B）等于未知量的個數(shù)時，方程組有唯一解；當 r（ A）等于 r（ B）并小于未知量的個數(shù)時，方程組有無窮多解。 解：齊次線性方程組有非平凡解，必有系數(shù)矩陣 A的秩 r（ A） A= 1 2 23 7 648????????? 213134rrrr??1 2 20 1 00 0 8????????? 為了使 r（ A） 3，必須 ? +8=0，即 ? =8 時齊次線性方程組有非平凡解。 例 3 討論 ? 取何值 時方程組21 2 31 2 31 2 3 1x x xx x xx x x?????? ? ? ??? ? ??? ? ? ??有唯一解、無窮多解、無解。 當 ? =2 時， r（ A）=2r（ B） =3，方程組無解。 解線性方程組 的一般解 及基礎(chǔ)解系 線性代數(shù)的起源之一 ， 是解線性方程組的問題。這種方法有三個基本操作：方程組中兩個方程互換 ， 一個方程兩邊乘一非零常數(shù) ， 一個方程加另一個方程的若干倍。 （ 2） 將增廣矩陣進一步化為行最簡形矩陣； （ 3） 寫出同解方程組（用自由未知量表示其余未知量）； （ 4） 寫出方程組的通解（參數(shù)形式或向量形式）。 解：設(shè) B 是線性方程組的增廣矩陣，于是 B=1 2 3 4 40 1 1 1 31 3 0 3 10 7 3 1 3????????????31rr?1 2 3 4 40 1 1 1 30 5 3 1 30 7 3 1 3??????????????324257rrrr?? 1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 2 4 120 0 4 8 24?????????????433212rrr??1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 1 2 60 0 0 0 0??????????? 于是，得到 同解 的方程組為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4326x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 將這方程組改寫為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4362x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 通過回代 ，將 4x 作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 124348362xxx???????????。 解 ： A= 2 3 1 01 2 1 1????????12rr? 1 1 2 11 2 1 1????????21rr? 1 1 2 10 1 3 2????????12rr? 1 0 5 30 1 3 2????????， 得到一般解： 1 3 42 3 45332x x xx x x???? ? ? ?? 由此可得到方程組的一個基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?125 , 3 , 1 , 0 , 3 , 2 , 0 , 1TT??? ? ? ?。再通過回代得到原方程組的一般解 。但是，在實際解方程組時，我們不必要這么做， 更不要把最后一列與前面某一列交換。 證向量的線性相關(guān)性 、 求向量組的極大無關(guān)組 求向量組的極大線性無關(guān)組 ,最方便 ,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了 ，這也 是我 們 最容易掌握的。如果存在 F 中不全為零的數(shù) a1， a2， ar 使得 1 1 2 2 r ra a a 0? ? ?? ? ? ?，那么就說 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。如果它的一個部分組 1 2 r? ? ?， ， 滿足： （ 1） 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)； （ 2）任取 ? ?T，則 ? ， 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。 定理 1：設(shè) r? n，則 n 維向量組 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)的充分必要條件是它構(gòu)成的矩陣 A=? ?1 2 r? ? ?， ， 的秩等于向量的個數(shù) r。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。 例 1 已知 1b 1 31??T（ ， ， ） ， 2b 1 2 2??T（ ， ， ） ， 3b1? T（ ， 1， 3），試討論向量組 b1,b2,b3 和向量組 b1， b2 的線 性相關(guān)性。 例 2 k 取何值時，向量組 1 (1,3,6, 2)T? ? ， 2 (2,1, 2, 1)T? ??， 3 (1, 1, , 2) Tk? ? ? ?線性無關(guān)。 定義：向量組 ? ?12, n? ? ? 的一個部分向量組 ? ?12, ri i i? ? ?叫做一個極大線 性無關(guān) 部 組（簡稱極大無關(guān)組），如果 （ 1）12, ri i i? ?