20xx年高考文科數(shù)學(xué)新課標必刷試卷十含解析-在線瀏覽
2025-01-17 00:39本頁面
【正文】 因為，故，解得. 19．全國大學(xué)生機器人大賽是由共青團中央，全國學(xué)聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，堅持和態(tài)度，這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京大學(xué)，清華大學(xué)，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過嚴格篩選，最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2020年全國大學(xué)生機器人大賽的激烈角逐之中，某大學(xué)共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊. （1）應(yīng)從大三抽取多少個團隊？ （2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試，甲、乙兩組的分數(shù)如下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 從甲、乙兩組中選一組強化訓(xùn)練，備戰(zhàn)機器人大賽. （i）從統(tǒng)計學(xué)數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？ （ii）從乙組中不低于140分的團隊中任取兩個團隊，求至少有一個團隊為144分的概率. 【答案】(1)6個(2)（i）選乙隊理由：，且乙隊中不低于140分的團隊多，在競技比賽中，高分團隊獲勝的概率大（ii） 【解析】 試題分析： （1）由題意可知大三團隊個數(shù)占總團隊數(shù)的，則應(yīng)從大三中抽取個團隊. （2）（i）分別計算甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值和方差，由于，可知選擇甲組有利，成績波動??；由于，可知選擇乙組有利，在競技比賽中，高分團隊獲勝的概率大. （ii）不低于140分的團隊共5個，其中140分的團隊有3個，144分的團隊有2個，據(jù)此可得任取兩個的情況有10個，其中兩個團隊都是140分的情況有3個，由對立事件概率公式可得至少有一個團隊為144分的概率為. 試題解析： （1）由題知，大三團隊個數(shù)占總團隊數(shù)的， 則用分層抽樣的方法，應(yīng)從大三中抽取個團隊. （2）（i）甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差， 選甲隊理由：甲、乙兩隊平均數(shù)相差不大，且，甲組成績波動小. 選乙隊理由：，且乙隊中不低于140分的團隊多，在競技比賽中，高分團隊獲勝的概率大. （ii）不低于140分的團隊共5個，其中140分的團隊有3個，分別為，144分的團隊有2個，分別為， 則任取兩個的情況有，，共10個， 其中兩個團隊都是140分的情況有，共3個. 故所求概率. 20．已知點是圓上的動點，定點，線段的垂直平分線交于點. （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）過點作兩條斜率之積為的直線，分別與軌跡交于，和，記得到的四邊形的面積為，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用橢圓定義即可得到點的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)其中一條直線的方程為，可得可得,故，結(jié)合均值不等式可得結(jié)果. 【詳解】 （Ⅰ）∵點是線段的垂直平分線上的點， ∴，∴， ∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓， 其中，∴，. 因此，點的軌跡方程是. （Ⅱ）設(shè)其中一條直線的方程為，代入橢圓方程可得： ， 設(shè)，則 即，代入橢圓方程可得：， 設(shè)，到直線的距離分別為和，則 , , , , 當，即時取“” 的最大值. 【點睛】 本題考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式，屬于中檔題． 21．已知函數(shù). （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)，：的圖象在圖象的下方. 【答案】(1) . (2) . (3)證明見解析. 【解析】 分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算和的值，點斜式求出切線方程即可. （Ⅱ）設(shè)，恒成立，或者恒成立，通過特殊值，且，確定恒成立，通過參數(shù)分離，求得實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最小值在區(qū)間，并證明. 即的圖象在圖象的下方. 詳解：解：（Ⅰ）求導(dǎo)，得， 又因為 所以曲線在點處的切線方程為 （Ⅱ）設(shè)函數(shù)， 求導(dǎo)，得， 因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)， 所以在區(qū)間上，恒成立，或者恒成立， 又因為，且， 所以在區(qū)間，只能是恒成立，即恒成立. 又因為函數(shù)在在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以. (Ⅲ）
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