新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-131空間向量及其運算-展示頁
2024-12-20 22:40本頁面
【正文】 (AC ? BD ) 解 方法一 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =AB +DC +CA +BD =（ AB +BD ） +（ DC +CA ） =AD +DA =0。 第 三 章 間向量與立體幾何 167。 空間向量及其運算 知識點一 空間向量概念的應(yīng)用 給出下列命題 ： ① 將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點 ， 則它們的終點構(gòu)成一個圓 ； ② 若空間向量 a、 b 滿足 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③在正方體 ABCDA1B1C1D1中，必有 AC= 11CA 。 方法二 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =（ AB ? AC ） +（ DC ? DB ） =CB +BC =0。 解 如圖所示 BD =BA +AD =d? b, BC =BA +AC =c? b, CD =CA +AD =d? c, DM =21 (DB +DC ) =21(b ? d+c? d)= 21(b+c? 2d), AQ = AD +DQ =d+32 DM , =d+31( b+c? 2d)=31(b+c+d). 知識點三 證明共線問題 已知四邊形 ABCD 是空間四邊形 ， E、 H 分別是邊 AB、 AD的中點 ， F、 G 分別是邊 CB、 CD 上的點 ， 且 CF =32 CB ,CG =32 CD .求證：四邊形 EFGH 是梯形 . 證 明 ∵ E、 H 分別是 AB、 AD 的中點 所以 AE =21 AB , AH =21 AD , EH = AH AE =21 AD ? 21 AB =21 (AD ? AB )=21 BD =21 （ CD CB ） =21 {32 CG 32 CF } =43 （ CG CF ） =43 FG ,∴四邊形 EFGH 是梯形 . 知識點四 證明共面問題 正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分別為 BB1和 A1D1 的中點 . 證明：向量 BA1 ， CB1 ， EF 是共面向量 . 證明 方法一 如圖所示 . EF =EB + 1BA + FA1 =21 BB1 ? BA1 +21 11DA =21（ CB1 ? BA1 ）。 方法二 連結(jié) A1D、 BD，取 A1D 中點 G，連結(jié) FG、 BG(如圖所示 )， 則有 FG 21 DD1 ， BE 21 DD1， ∴ FG BE. ∴四邊形 BEFG 為平行四邊形． ∴ EF∥ BG.∴ EF∥平面 A1BD. 同理， B1C∥ A1D，∴ B1C∥平面 A1BD. ∴ BA1 ， CB1 ， EF 都與平面 A1BD 平行 ∴ BA1 ， CB1 ， EF 共面 . 知識點五 數(shù)量積的運算 如圖所示 ， 已知空間四邊形 ABCD的每條邊和對角線長都等于 1， 點 E， F 分別是 AB， AD 的中點 ， 計算 （ 1） EF (2) EF (3) EF BA =21 BD |BA | BA 60=41 , 所以 EF BD =21 |BD | cosBD ,BD =21 11cos0176。 BD =21 ,(3) EF DC =21|BD | cosBD ,DC =21 11cos120176。 DC =41， 知識點六 數(shù)量積的應(yīng)用 已知點 O 是正 △ ABC 平面外的一點 ， 若 OA＝ OB＝ OC＝ AB＝ 1， E、 F 分別是 AB、 OC 的中點 ， 試求 OE 與 BF 所成角的余弦值 ． 如圖所示，設(shè) OA =a, OB =b, OC =c, 則 a c=c BF =21 (a+b) c +21 b b |b|2 } = 21 {41 + 41 21 1 } = 21 , cos〈 OE ,BF 〉 =| || |OE BFOE BF=123322??= 32 ∴異面直線 OE 與 BF所成角的余弦值為 32 . 如圖所示 ， 在平行四邊形 ABCD 中 ， AB＝ AC＝ 1， ∠ ACD＝ 90176。角 ， 求 B、 D 間的距離 ． 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， O為 AC 與 BD的交點 ， G 為 CC1 的中點 ， 求證 ： A1O⊥ 平面 GBD. 證明 如圖所示，設(shè) 11BA = a ， 11DA = b， AA1 = c ， 則 a c = 0， c BD = { c + 21a +21 b} ( b –
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