【正文】 0。+++180。22180。111249。33180。4)1，…，1180。2)1222，ln(2180。(x)0，故g(x)在[1,+165。(x)≥0，x∴h(x)在[1,+165。(x)=.=x2x2令h(x)=xlnx，則h162。2a(x+1)(1+lnx)(x+1)(1+lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)=x+1xx[(x+1)(1+lnx)]162。1 解得t+1,239。t1,1239。232。t,t+247。(x)(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,+165。(x)=2，xx當(dāng)0x1時(shí)，f162。[(n+1)!]2與(n+1)en2(n206。a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并且判斷代數(shù)式x+1（2）如果當(dāng)x179。247。232。Sn nn，否則直接另x=+1n+11+：已知函數(shù)f(x)=（1）若函數(shù)在區(qū)間231。N,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).整理：在證明中要對(duì)證明的式子2n+1an179。2),a1=+1，數(shù)列{an}的前n和 2+1+nSn，求證：2an179。=：已知函數(shù)f(x)=ln(x)+ax（1）求實(shí)數(shù)a的值；1(a為常數(shù))，在x=（2）設(shè)g(x)=f(x)+2x，求g(x)的最小值；（3）若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=aan1n1+1(n206。)單調(diào)遞增，+165。)時(shí)，xx)=1所以f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a，故x=a是f(x)在(0，f39。(x)0；當(dāng)x206。1+aln20，所以不滿(mǎn)足題意； 2axa=知，當(dāng)x206。232。x(230。247。).①若a163。2248。2248。2248。3247。2247。247。230。230。230。2248。2248。2248。2247。231。1246。1246。1246。1+230。(0，+165。2248。2248。2248。2247。231。 1+L1+m，求m的最小值。230。230。232。0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n231。第一篇：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題典例：（2017全國(guó)卷3,21）已知函數(shù)f(x)=x1alnx。（1）若f(x)179。1+230。1246。1246。1246。247。231。n247。232。232。分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是f(x)在x206。)的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得a=1 ；(2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得231。232。230。230。1+L1+e，結(jié)合247。231。n247。232。232。1246。1246。1246。1+1+1+2可知實(shí)數(shù)m 的最小值為3231。231。231。232。232。232。（1）f(x)的定義域?yàn)?0，+165。0，因?yàn)閒231。=②若a0，由f39。1246。2248。(0,a)時(shí)，f39。(a，+165。(x)0，+165。)(1)=0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f(x)179。N且n179。esnan(n206。esnan進(jìn)行簡(jiǎn)單的處理為nln2+lnan179。t,t+230。1246。（其中t0）上存在極值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍； 2248。1時(shí)，不等式f(x)179。N*)：解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=1+lnxlnx，x0，則f162。(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f162。)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x=(x)在區(qū)間231。(其中t0)上存在極值，2248。236。所以237。238。x(x+1)(1+lnx)xlnx所以g162。(x)=11，∵x≥1，∴h162。)上單調(diào)遞增，∴[h(x)m]in=h(=1)1，從而0g162。)上也單調(diào)遞增，所以[g(x)]min=g(1)=2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x+1x122=11，（此處采用了放縮法，是處理問(wèn)題的關(guān)鍵）x+1x+1x2令x=n(n+1)，則ln[n(n+1)]1，n(n+1)∴ ln(1180。3)1，ln(3180。22180。42ln[n(n+1)]1，n(n+1)233。疊加得ln[1180。32180。n2(n+1)]n2234。 1180。3n(n+1)235。1246。222n2=n2231。180。3180。n(n+1)e，232。所以[(n+1)！]2(n+1)en2(n206。R)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。N*)(3)證明:ln22ln33ln44ln55Llnnn1n(n179。N*) n(4)證明:ln2ln3ln4ln5lnn230。n+122324252Ln2231。2247。n(n179。N*)(5)證明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n+1)224344454Ln44n(n179。N*) ln22ln32(6)求證:lnn2(n1)(2n+1)22+32+...+n22(n+1)(n179。N*)(7)求證:231。1246。22247。248。1+1246。42247。248。1+1246。1+82247。...230。232。22n247。e(n206。nnn(2)證明不等式:230。1246。2246。n246。n247。+231。n247。+L+231。n247。e1(n206。(2)當(dāng)n206。nf230。1+1+1+151 k=1231。k247。2333...+n3163。0)(1)若m=12,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。(3)求證:對(duì)任意的n206。R),(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍。N,n1).導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明 收集整理:張亞爭(zhēng) 聯(lián)系電話:*** 1 / 2 (x)=ax+b+c(a0)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x1? x(1)用a表示出b,c。lnx在[1,+165。(3)證明:1+(x)=2alnxx2+1?(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最大值。111n++L+ln(n+1)+(n179。2,n206。)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論?k(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)恒成立,求整數(shù)k的最大值。2)(1+2180。4)L(1+