【正文】 平面，其方程為：。又設(shè)都在連續(xù)，并且對每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。4空間曲線的切線與法平面本節(jié)主要討論由參數(shù)方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線和法平面的計算問題。例：設(shè)，變換方程。例：設(shè)。例：設(shè)二階可微，求。一．一個方程的情形對說明：（1）求需要假定，這一假設(shè)是很重要的；（2）這里只用到了“鏈?zhǔn)椒▌t”；（3）對求導(dǎo)，只在假定的函數(shù)的情況下，求導(dǎo)數(shù)，如何確定。這種形式的函數(shù)稱為隱函數(shù)。3由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法在此之前，我們所接觸的函數(shù)，其表達(dá)式大多是自變量的某個算式，如這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。例：設(shè)則如果二階微分只有形式不變性，則有：但（2）利用一階微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)例：設(shè)利用微分形式不變性求并求出（3）高階微分不具有形式不變性。設(shè)是二元可微函數(shù)，如果是自變量，則：（各自獨立變量）（1）如果不是自變量而是中間變量，又設(shè)都可微，并且可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么：（2）由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。二一階微分形式不變性一階微分有個很重要性質(zhì)——形式不變性。例：（4）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t中的條件是充分的，并非必要的。(3)有時記。2）設(shè)則例：又設(shè)。167。例：設(shè)，可求得。例：設(shè)，求，；。例：設(shè)，求。例：設(shè)證明在點不可微。注：若在點可微，則。二全微分的定義二元函數(shù)微分的定義定義2若函數(shù)的全改變量可表示為=(+,+)=++()且其中與，無關(guān)而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的全微分，記為，即。就是曲線在的切向量。見下面的例子。若在點關(guān)于（或）可導(dǎo)，則在關(guān)于（或）連續(xù)。例：，求和。類似地可定義。1偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念一偏導(dǎo)數(shù)的定義1．偏導(dǎo)數(shù)定義定義1設(shè)是一個二元函數(shù)，定義在內(nèi)某一個開集內(nèi)，點（，）D，在中固定,那么是一個變元的函數(shù)，如果在點可導(dǎo)，即如果(1)存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點（,）關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。例：求函數(shù)在的二次極限和二重極限。推論1設(shè)（1）；（2），存在；（3），存在；則，都存在，并且等于二重極限。（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。定理1　設(shè)（1）二重極限；（2）。（不可交換）上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)，由知兩個二次極限存在且相等。不存在知的累次極限不存在。注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。零點存在定理設(shè)是中的一個區(qū)域，和是內(nèi)任意兩點，是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果，則在內(nèi)任何一條連結(jié)的折線上，至少存在一點，使。一致連續(xù)性定理若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上一致連續(xù)。例：求函數(shù)的不連續(xù)點。例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)，討論在點的二重極限．證明二元極限不存在的方法．基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；２）或某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法說明極限與輻角有關(guān)．例：在的二重極限不存在．三二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)在點有定義，如果，則稱在點連續(xù)．“語言”描述：，有。例：。例：，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點的的二重極限。但若在某一點列或沿某一曲線時，的極限為，還不能肯定在的極限是。記為或。記為或。記為或。又如，是馬鞍面。有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。這些都是多元函數(shù)的例子。例如平行四邊行的面積由它的相鄰兩邊的長和寬以及夾角所確定,即。167。那么從里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區(qū)域。：如果序列有界，那么從其中必能選取收斂的子列。一個區(qū)域加上它的邊界就是一個閉區(qū)域。6．閉集：設(shè)的所有聚點都在內(nèi)，就稱是閉集。5．聚點：設(shè)是平面上的一點，它可以屬于，也可以不屬于，如果對的任何鄰域，至少含有中一個（不等于的）點，就稱是的聚點。的邊界點全體叫做的邊界。2．外點：設(shè)，若存在的一個鄰域，使，就稱是的外點。二開集、閉集、區(qū)域設(shè)是一個平面點集。性質(zhì)：（1）。如果對的任何一個鄰域，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有。平面點集一鄰域、點列的極限定義1在平面上固定一點，凡是與的距離小于的那些點組成的平面點集，叫做的鄰域，記為。性質(zhì)4。性質(zhì)2（平移）對任何，設(shè)，那么。二富里埃變換的一些性質(zhì)富里埃變換有一些簡單的性質(zhì)，這些性質(zhì)在偏微分方程和概率論等課程中有著很重要的應(yīng)用。例：求衰減函數(shù)的富里埃變換。定義2稱是的富里埃逆變換。即。2富里埃變換一富里埃變換的概念設(shè)在內(nèi)絕對可積。例：將在上展開為余弦級數(shù)。形如的三角級數(shù)（函數(shù)項級數(shù)）如果是以為周期的函數(shù),在上絕對可積,若是奇函數(shù),則有；若是偶函數(shù),如果按奇函數(shù)的要求,補充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數(shù),補充定義后,再作周期延拓,必得偶函數(shù),所得Fourier級數(shù)必為余弦級數(shù)。例：設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,求的Fourier展開式。2)要求上的Fourier級數(shù)，只須求出Fourier系數(shù)。第二篇：數(shù)學(xué)分析公式定理2第十二章富里埃級數(shù)167。f|163。1 證明|39。1]上，|f|163。c(12xy+ey)dx(cosyxe)dy其中C為右由點A（1，1）出發(fā)沿yy=x到O（0，0）點，再沿直線y=0到B（2，0）的路徑。(1x)xn在區(qū)間[0，1]上收斂但不一致收斂。2nncosxxndx 1n二 利用不等式(1+（歐拉常數(shù)）165。165。2n=1n(n+n)2舉例說明存在函數(shù)0）處不連續(xù)。x182。u182。設(shè)u=u(x,y)和v=v(x,y)為x=e+u，y=evv3165。exsin(2x)dx 0165。第一篇：吉林大學(xué)2000 數(shù)學(xué)分析吉林大學(xué)研究生入學(xué)考試試題 2000年 一 計算下列各題x2求極限limxx174。04(cosxex2) x2 求導(dǎo)數(shù){(1+求積分242。)}39。u3所確定的函數(shù)，求182。x和182。y證明無窮級數(shù)229。求極限limf(x,y)，使得在（0，0）處各方向?qū)?shù)都存在，但函數(shù)自身在（0，n174。242。)e(1+n)n+1證明數(shù)列xn=1+12+L+1nlnn有極限C三 證明函數(shù)級數(shù)229。n=1四 求曲線積分2242。五 設(shè)函數(shù)f定義在 [1。1，|f|163。39。2 39。1富里埃級數(shù)一富里埃（Fourier）級數(shù)的引進(jìn)定義：設(shè)是上以為周期的函數(shù)，且在上絕對可積，稱形如的函數(shù)項級數(shù)為的Fourier級數(shù)(的Fourier展開式)，其中，稱為的Fourier系數(shù)，記為說明1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“~”改為“=”；此處“~”也不包含“等價”之意，而僅僅表示是的Fourier級數(shù)，或者說的Fourier級數(shù)是。二富里埃級數(shù)收斂性的判別（黎曼）引理設(shè)在（有界或無界）區(qū)間上絕對可積，則，.推論在上絕對可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；定理1和,使得當(dāng)時成立推論:設(shè)在上除去有限點外存在有界導(dǎo)數(shù),則的Fourier級數(shù)點點收斂,且特別地,是的連續(xù)點時，即例:設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的Fourier級數(shù)的收斂性例：設(shè)在上單調(diào)(或有界變差)，則。，例：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,例如定義在上,此時不是周期函數(shù),使其以為周期,如定義,它有下述性質(zhì):a)時,；b):三正弦級數(shù)和余弦級數(shù)定義形如的三角級數(shù)(函數(shù)項級數(shù))稱為正弦級數(shù)。例:),將展開成余弦函數(shù)。四一般周期函數(shù)的Fourier級數(shù)設(shè)是周期為的函數(shù),且在上絕對可積,則有,其中，例:Fourier級數(shù)的復(fù)數(shù)表示形式設(shè),則其復(fù)數(shù)表示形式為,其中,復(fù)的Fourier系數(shù).167。定義1稱是的富里埃變換，并把它記為或。富里埃變換的性質(zhì)（i）是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；（ii）。又稱是的富里埃變換積分公式。例：求函數(shù)的富里埃變換和富里埃變換積分公式。性質(zhì)1（線性），其中是兩個任意給定的常數(shù)。性質(zhì)3（導(dǎo)數(shù)）設(shè)，則。第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性167。定義2設(shè)。就稱點列收斂，并且收斂于，記為或。（2）若收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。1．內(nèi)點：設(shè)，如果存在的一個鄰域，使得，就稱是的內(nèi)點。3．邊界點：設(shè)是平面上一點，它可以屬于，也可以不屬于，如果對的任何鄰域，其中既有的點，又有非中的點，就稱是的邊界點。4．開集：如果的點都是的內(nèi)點，就稱是開集。性質(zhì)：設(shè)是的聚點，則在中存在一個點列以為極限。7．區(qū)域：設(shè)是一個開集，并且中任何兩點和之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在中，就稱是區(qū)域。三平面點集的幾個基本定理1．矩形套定理：設(shè)是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且，那么存在唯一的點屬于所有的矩形。：若一開矩形集合覆蓋一有界閉區(qū)域。4．收斂原理：平面點列有極限的充分必要條件是：對任何給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有。2多元函數(shù)的極限和連續(xù)一多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。圓柱體體積由底半徑和高所決定,即。一般地，有下面定義：定義1設(shè)是的一個子集，是實數(shù)集，是一個規(guī)律，如果對中的每一點，通過規(guī)律，在中有唯一的一個與此對應(yīng)，則稱是定義在上的一個二元函數(shù)，它在點的函數(shù)值是，并記此值為，即。例如，二元函數(shù)就是一個上半球面，球心在原點，半徑為，此函數(shù)定義域為滿足關(guān)系式的，全體，即。二多元函數(shù)的極限定義2設(shè)是的一個開集，是一個常數(shù)，二元函數(shù)在點附近有定義．如果，當(dāng)時，有，就稱是二元函數(shù)在點的極限。定義的等價敘述1設(shè)是的一個開集，是一個常數(shù)，二元函數(shù)在點附近有定義．如果，當(dāng)時，有，就稱是二元函數(shù)在點的極限。定義的等價敘述2設(shè)是的一個開集，是一個常數(shù)，二元函數(shù)在點附近有定義．如果，當(dāng)且時，有，就稱是二元函數(shù)在點的極限。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果，則當(dāng)以任何點列及任何方式趨于時，的極限是；反之，以任何方式及任何點列趨于時，的極限是。所以說，這里的“或”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點的二重極限是否存在。二元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：①　②?、劾呵笤冢ǎ?，０）點的極限，若用極坐標(biāo)替換則為（注意：在時為０，此時無界）。如果在開集內(nèi)每一點連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，或稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。四