【正文】 下面 給出了梁的一些物理量隨坐標(biāo) z 的變化情況，由此可見，無論是功能梯度壓電梁畢業(yè)論文 第 20 頁 共 35 頁 （ ）還是均質(zhì)壓電梁 ，位移 沿厚度方向幾乎不發(fā)生變化，近似為常量。由于問題的相似性，本文只討論平面應(yīng)變問題。梁長 ，寬 ，厚度 ，上表面受到均布載荷 ，自由端作用剪切載荷 和力矩 。 李堯臣等基于若干基本假設(shè)，提出了指數(shù)型功能梯度壓電材料圓板在軸對(duì)稱載荷作用下的簡化理論與解析解，獲得了板的周邊固定或簡支并接地情況下中性層法線轉(zhuǎn)角的解和用 FourierBessel 級(jí)數(shù)表示的電勢(shì)解，這個(gè)解有足夠的精度，在形式上比精確解簡畢業(yè)論文 第 11 頁 共 35 頁 潔得多，便于數(shù)值計(jì)算和應(yīng)用 [6]。 研究表明，對(duì)于給定的表面材料性質(zhì)，當(dāng)薄膜厚度減小到微米尺度時(shí)，其抗彎剛度和固有頻率表現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，并隨厚度的進(jìn)一步減小，表面效應(yīng)的影響越來越明顯 。 Bian 等將 Soldatos 層合板理論推廣用于功能梯度板的分析，構(gòu)造了狀態(tài)空 間 列式來確定翹曲函數(shù)的厚度方向分布，然后針對(duì) Soldatos 層合板理論構(gòu)造了狀態(tài)空 間 列式對(duì)單跨以及多跨柱形板的彎曲進(jìn)行求解 。 為了對(duì)更復(fù)雜條件下功能梯度梁、板、殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，必須發(fā)展適合于功能梯度材料特點(diǎn)的梁、板、殼簡化理論 。 基于狀態(tài)空 間 的微分求積法還被推廣應(yīng)用于求解雙向功能梯度材料梁和雙向功能梯度材料圓板的分析 。 Nie 等對(duì)狀態(tài)空 間 法和微分求積法相結(jié)合的半解析半數(shù)值方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了將位移和位移的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量的求解方法，與應(yīng)力和位移混合作為狀態(tài)變量的狀態(tài)空問法相比較，更易處理某些邊界條件和圓板中心的正則性條件 。 Li 等利用該方法獲得了功能梯度層合梁以及壓電層合板在簡支、固支、 自 由等邊界條件下的 自 由振動(dòng)與靜力彎曲問題的解答 。 Chen 等針對(duì)復(fù)合材料梁板提出了一種有效的半解析半數(shù)值方法，該方法將狀態(tài)空 間 法和微分求積法結(jié)合在一起，在面內(nèi)采用微分求積法離散可以處理任意側(cè)面邊界條件，而在厚度方向采用狀態(tài)空 間 法進(jìn)行精確求解 。 半解析半數(shù)值解 傳統(tǒng)的狀態(tài)空 間 法只能適用于具有特殊邊界條件 (如簡支、滑支 )的 結(jié)構(gòu)的求解 。 由于采用了兩個(gè)局部坐標(biāo)系，該方法摒除了具有正實(shí)部指數(shù)的指數(shù)函數(shù)，從而在計(jì)算中避免了傳統(tǒng)狀態(tài)空問法中普遍存在的大數(shù)相減，得到了絕對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，表明回傳射線矩陣法對(duì)于結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)計(jì)算具有不可替代的優(yōu)越性 。 潘永東等利用 Peano 級(jí)數(shù)展開法研究功能梯度材料中波的傳播特性，求解了圓桿和圓管表面上功能梯度涂層的表面波頻散曲線，通過數(shù)值計(jì)算說明了表面波頻散曲線對(duì)涂層材料聲速梯度分布的依賴性，為激光超聲實(shí)驗(yàn)測(cè)量表征材料梯度分布特性提供了理論依據(jù) 。 分層法雖然概念簡單，但收斂速度較慢 ， Frobenius 法可以求出精確解，但求解過程繁瑣，而且對(duì)數(shù)值計(jì)算過程的精度要求比較高 。 Huang 等考察了雙參數(shù)地基對(duì)功能梯度材料板彎曲特性的影響，發(fā)現(xiàn)地基參數(shù)的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布影響較大，尤其是對(duì)于較厚的梁板，地基參數(shù)越大，中性面的位置逐漸向加載的表面移動(dòng)，應(yīng)力分布也逐漸趨于緩和，即應(yīng)力水平逐漸減小 [46]。 Zhong 等假設(shè)材料的力學(xué)、電學(xué)和熱學(xué)性質(zhì)沿板厚方向按統(tǒng)一的指數(shù)函數(shù)形式梯度畢業(yè)論文 第 9 頁 共 35 頁 分布，獲得了四邊簡支、接地和等溫的正交各向異性功能梯度壓電材料矩形板，在 上下表面作用機(jī)械載荷、電載荷和熱載荷情況下的三維靜力精確解。 張曉日等假設(shè)材料的力學(xué)和電學(xué)性質(zhì)沿板厚方向按統(tǒng)一的指數(shù)函數(shù)形式梯度分布，獲得了周 邊為廣義剛性滑動(dòng)和廣義簡支兩種邊界條件下軸對(duì)稱功能梯度壓電圓板自 由振動(dòng)問題的 精確頻率方程，數(shù)值求解不同板厚和不同梯度變化情況下的軸對(duì)稱圓板自 由振動(dòng)的固有頻率 。 Yang 等推廣了非均勻材料 板的 Spence 分析方法，并求解了均布載荷作用下橫觀各向同性材料環(huán)板的位移和應(yīng)力場(chǎng)，從二維簡化解構(gòu)造出相應(yīng)的材料沿厚度方向任意變化的圓環(huán)板的三維解 。 但與經(jīng)典的板殼理論不同，在位移模式中含有很多與厚度坐標(biāo)有關(guān)的未知函數(shù)，因此可以考慮材料特性沿板厚的任意變化 。 對(duì)于均勻 電勢(shì)作用下的功能梯度圓板和均布載荷作用下的功能梯度壓電壓磁板，同樣通過假設(shè)位移、電勢(shì)和 (或 )磁勢(shì)的適當(dāng)形式，導(dǎo)出了相應(yīng)的軸對(duì)稱解析解 [24]。 與直梁問題類似，這一方法可以考察材料常數(shù)沿厚度方向的任意變化以及圓周邊界上的簡支或固支邊界條件 。 Li等將 Ding 等提出的直梁的分析方法進(jìn)一步推廣應(yīng)用于功能梯度彈性圓板 。 在軸對(duì)稱載荷作用下的圓 /環(huán)板的彎曲問題是彈性力學(xué)的一個(gè)經(jīng)典問題 。 陳偉球等將辛空間 的彈性力學(xué)解法推廣應(yīng)用到功能梯度材料結(jié)構(gòu)的解析研究中，提畢業(yè)論文 第 8 頁 共 35 頁 出了移位 Hamilton 矩陣的概念， 并且 發(fā)現(xiàn)材料的功能梯度屬性將改變有關(guān)特征函數(shù)的形式，對(duì)不同的 特征函數(shù)建立了 辛正交關(guān)系，并提出了穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算方法 。 已有的研究大都假設(shè)壓電層和功能梯度材料主體結(jié)構(gòu)之問粘結(jié)完好 。 Jiang 等則發(fā)展了基于調(diào)和函數(shù)表示的通解解法，求得了密度功能梯度材料懸臂梁的兩個(gè)解析解 。 這一方法將 Lekhnitskii 在各向異性平面彈性問題上的研究推進(jìn)了一大步，豐富了非均勻材料力學(xué)的求解手段，具有重要的科學(xué)意義 。 在解析解方面， Lekhnitskii 在其名著中給出了正交各向異性懸臂梁端部受剪 、彎的解，但其后近 40 年幾 乎沒有任何進(jìn)展 。 這些工作都假設(shè)材料參數(shù)沿厚度以同一指數(shù)變化 。 Sankar 針對(duì)材料常數(shù)沿厚度為指數(shù)分布的正交各向異性功能梯度梁受任意垂直載荷作用的情形推導(dǎo)得到了彈性力學(xué)精確解 。 解析解 對(duì)于功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)，由于控制方程通常為變系數(shù)的微分方程，其邊值問題的解析求解難度非常大，因此在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，解析解非常少 。 畢業(yè)論文 第 7 頁 共 35 頁 2 功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)的分析方法 梁、板、殼以及它們的組合是目前功能梯度材料的常見結(jié)構(gòu)形式， 分析方法主要以簡化的結(jié)構(gòu)理論為主，也有一些是從三維方程出發(fā)進(jìn)行直接求解 。 本文主要研究內(nèi)容 從彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，利用半逆解法，假設(shè)材料的所有電彈性常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化，研 究功能梯度壓電懸臂梁在上表面受均布荷載、自由端受集中力和集中力矩聯(lián)合作用問題的力電耦合場(chǎng)，求得了相應(yīng)的應(yīng)力和位移。 劉瑋，閏 鉑基于經(jīng)典板理論，研究了四邊簡支壓電功能梯度矩形薄板的屈曲問題 陳江義，熊濱生，陳柳利用狀態(tài)空間法對(duì)功能梯度電磁彈性多層板場(chǎng)變量的精確解進(jìn)行了分析。 Oota 和 Tanigawa 利用近似層合模型，用級(jí)數(shù)展開的辦法分析了簡支 FGM 壓電矩形板的三維瞬態(tài)溫度場(chǎng)分布及其熱應(yīng)力分布。 和 研究了四邊簡支功能梯度層合板的磁、電、彈 耦合 問題。 Lim和 He 給出了復(fù)合梯度壓電層合結(jié)構(gòu)的三維精確解。 Li 和 Weng， 胡克強(qiáng)，仲政基于三維彈性理論和壓電理論，對(duì)材料系數(shù)按指數(shù)函數(shù)規(guī)律分布的功能梯度壓電板條中的裂紋問題進(jìn)行了求解 ； JinB, Zhong Z 等對(duì)功能梯度壓電材料的反平面裂紋問題進(jìn)行了研究。 吳瑞安對(duì)功能梯度壓電材料平板進(jìn)行了力電禍合結(jié)構(gòu)分析 。 Chen 和 Ding 基于狀態(tài)方程分析了四邊簡支壓電功能梯度板的彎曲問題。 Reddy 和 Cheng 用漸進(jìn)展開式結(jié)合傳遞矩陣公式得到了智能功能梯度 (FG)結(jié)構(gòu) (由彈性 FGM 層和壓電層組成 )的漸近解 [27]。功能梯度壓電材料 (FGPM)作為一種全新的材料設(shè)計(jì)理念，其應(yīng)用前景十分廣闊 [4]。因此，功能梯度壓電激勵(lì)器可以在產(chǎn)生大位移的同時(shí)，減緩分界面處的應(yīng)力集中，從而大大提高了壓電元件的可靠性和壽命。功能梯度壓電材料可以用于單一壓電裝置、或是兩個(gè)不同壓電裝置之間的粘結(jié)過渡層。當(dāng)粘接兩個(gè)不同的壓電材料，或者極化方向不同的兩個(gè)同種的壓電材料時(shí)，將產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)力集中，并會(huì)在低溫下會(huì)發(fā)生裂畢業(yè)論文 第 5 頁 共 35 頁 紋、高溫下產(chǎn)生蠕變以及剝落，導(dǎo)致壓電雙晶片的電場(chǎng)誘導(dǎo)位移特性降低，器件的壽命縮短，難以應(yīng)用在要求高可靠性的計(jì)測(cè)控制裝置上 。為達(dá)到上述目的，常常將兩個(gè)壓電陶瓷薄片以板的形式粘接在一起，將壓電激勵(lì)器做成壓電雙晶片形式。 功能梯度壓電材料（ FGPM）的研究現(xiàn)狀 功能梯度壓電材料（ FGPM）概念的提出 壓電材料由于具有正、逆壓電效應(yīng)，已經(jīng)廣泛用作智能結(jié)構(gòu)的傳感器 (sensor)和執(zhí)行器 (actuator)，應(yīng)用 于結(jié)構(gòu)的形狀控制、振動(dòng)和噪聲控制以及結(jié)構(gòu)的損傷監(jiān)測(cè)等諸多領(lǐng)域。在此溫度以下，原子磁矩一致排列，產(chǎn)生自發(fā)磁化，材料呈鐵磁 性，將臨界溫度 Tc 稱為居里溫度 )以及常溫介電性和壓電性不穩(wěn)定等缺點(diǎn)。但是，欽酸鋇陶瓷的居里點(diǎn)不高 (120 ℃ )限制了器件的工作溫度范圍 :(居里溫度 :對(duì)于所有的磁性材 料來說，并不是在任何溫度下都具有磁性。應(yīng)用最廣泛的壓電陶瓷是欽酸鋇系和鉆欽酸鉛系 (PZT)陶瓷。 壓電陶瓷 自然界中，許多材料都呈現(xiàn)壓電材料的性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中，一般將其分為壓電晶體 、壓電纖維、壓電聚合物和壓電陶瓷等 幾類，應(yīng)用最多的是后兩類材料。逆壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將電能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能的能力。檢測(cè)出壓電元件上電荷的變化，即可得 知壓電元件處的變形量，利用壓電材料的正壓電效應(yīng)，可將其制成結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制或結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的智能傳感器。 當(dāng)對(duì)壓電材料施加機(jī)械變形時(shí)，剩余極化強(qiáng)度將因材料的變形而發(fā)生變化，引起材料內(nèi)部正負(fù)電荷中心發(fā)生相對(duì)移動(dòng)產(chǎn)生電極化，從而導(dǎo)致材料兩個(gè)表面上出現(xiàn)符號(hào)相反的束縛電荷，電荷密度與外力成正比，這種現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)。 壓電材料簡介 壓電效應(yīng) 壓電 (piezoelectric)現(xiàn)象最早由 Jacques Curie 和 Pierre Curie 兄弟于 1880 年發(fā)現(xiàn)。從設(shè)計(jì)上分析，隨著非均質(zhì)材料的組成結(jié)構(gòu)性能體系的深入研究，以及連續(xù)介質(zhì)理論，量子理論及微觀結(jié)構(gòu)模型的不斷完善，將建立起比較完備的 FGM 數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨著組元設(shè)計(jì)多樣化的發(fā)展，組元 成分的選擇也更加合理，梯度材料的設(shè)計(jì)也將向著多組元設(shè)計(jì)、更為經(jīng)濟(jì)和更為實(shí)用的制備方向不斷發(fā)展 [9]。 畢業(yè)論文 第 3 頁 共 35 頁 圖 b 金屬、陶瓷構(gòu)成的材料特性 FGM 發(fā)展前景 功能梯度材料自產(chǎn)生以來，得到了長足的發(fā)展。因在制備過程中，選取了兩種或幾種不同性質(zhì)的材料，連續(xù)地控制材料的微觀組成、結(jié)構(gòu)和空隙形態(tài)與結(jié)合 方式，使界面的成分和組織呈連續(xù)性變化，因而材料內(nèi)部熱應(yīng)力得以大大緩和，如圖 b 所示，對(duì)高溫側(cè)壁采用耐熱性好的陶瓷材料，低溫側(cè)壁使用導(dǎo)熱和強(qiáng)度好的金屬材料。 圖 a 功能梯度材料示意圖 功能