新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2篇-展示頁(yè)
2024-12-02 03:13本頁(yè)面
【正文】 , 則可以猜想的結(jié)論為： __________ 考注意到所給出的不等式的左右兩邊分子、分母與項(xiàng)數(shù) n 的關(guān)系，則容易得出結(jié)論：1+ ??22 3121…+112)1( 1 2 ???? nnn. 這個(gè)不等式成立嗎？如何證明呢？ 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 證明不等式是 數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，要注意利用不等式的傳遞性 .證明不等式的其他常用方法 ,如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等也是證明 P(k+1)成立的基本方法 .〔這里的 P(k+1)是 n=k+1時(shí)不等式成立〕 使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)除了以上方法外，還要注意發(fā)現(xiàn)或設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸納假設(shè)與n=k+1時(shí)命題之間的聯(lián)系，充分利用這樣的聯(lián)系來(lái)證明 n=k+1時(shí)命題成立 . 課堂導(dǎo)學(xué) 三點(diǎn)剖析 一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧（一） 【例 1】 對(duì)于 n∈ N,證明 13 12111 ?????? nnn ?1. 證明：當(dāng) n=1時(shí)，左邊 =1213 1=右邊； 設(shè) n=k時(shí)，有 13 12111 ?????? kkk ?1。 當(dāng) n=k+1時(shí)，左邊 13 13121 ?????? kkk ? ???????????? 2111)43 133 123 1( kkkkk 33 243 123 11)1143 133 123 1(13 1 ????????????????? kkkkkkkk )43)(33)(23( 21 ????? kkk1=右邊 . 所以對(duì)一切自然數(shù) n不等式均成立 . 溫馨提示 解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式，這里要把握不等式左邊式子的結(jié) 構(gòu)特征，明確從 n=k到 n=k+1增減的項(xiàng) . 各個(gè)擊破 類題演練 1 對(duì)于 n∈ N，試比較 2n與 n2的大小 . 解析： 先驗(yàn)算 n=1時(shí)， 2nn2， n=2和 n=4時(shí)， 2n=n2,n=3時(shí) ,2nn2. 而當(dāng) n=5時(shí)，有 2nn2,猜測(cè)對(duì) n≥5有 2nn2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1）當(dāng) n=5時(shí)，已證 . （ 2）設(shè)當(dāng) n=k(k≥5)時(shí)， 2kk2且 k22k+1. 當(dāng) n=k+1時(shí)， 2k+1=2( 12 1?k ) 1221 ?k 當(dāng) n=1時(shí)，由 |an|2,得 a12=
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