【正文】 ， ( ) 0fx? ? ；當 2r xr??時， ( ) 0fx? ? ，所以 12fr??????是 ()fx 的最大值． 因此，當 12xr? 時， S 也取得最大值，最大值為 21 3 322f r r???????． 即梯形面積 S 的最大值為 2332 r ． 第 2 題 . 橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的焦點為 1F ， 2F ，兩條準線與 x 軸的交點分別為MN， ，若 12MN F F?≤ ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） Ａ． 102??? ???， Ｂ． 202??? ????， Ｃ． 112??????， Ｄ． 212???? ???， 答案： Ｄ C D A B O x y 第 3 題 . 在平面直角坐標系 xOy 中，經(jīng)過點 (0 2)， 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 2 2 12x y??有兩個不同的交點 P 和 Q ． （ I）求 k 的取值范圍； （ II）設橢圓與 x 軸正半軸、 y 軸正半軸的交點分別為 AB， ，是否 存在常數(shù) k ，使得向量OP OQ? 與 AB 共線？如果存在，求 k 值；如果不存在，請說明理由． 答案： 解：（ Ⅰ ）由已知條件，直線 l 的方程為 2y kx?? ， 代入橢圓方程得 2 2( 2 ) 12x kx? ? ?． 整理得 221 2 2 1 02 k x k x??? ? ? ????? ① 直線 l 與橢圓有兩個不同的交點 P 和 Q 等價于 2 2 218 4 4 2 02k k k??? ? ? ? ? ? ?????， 解得 22k?? 或 22k? ．即 k 的取值范圍為 22? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，． （ Ⅱ ）設 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，則 1 2 1 2()O P O Q x x y y? ? ? ?， 由方程 ① ，12 24212kxx k? ? ? ?． ② 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x? ? ? ?． ③ 而 ( 2 0 ) ( 0 1 ) ( 2 1 )A B A B ??， ， ， ， ，． 所以 OP OQ? 與 AB 共線等價于 1 2 1 22 ( )x x y y? ? ? ?， 將 ②③ 代入上式，解得 22k? ． 由（ Ⅰ ）知 22k?? 或 22k? ，故沒有符合題意的常數(shù) k ． 第 4 題 .在平面直角坐標系 xOy 中，經(jīng)過點 (0 2)， 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 2 2 12x y??有兩個不同的交點 P 和 Q ． （ I）求 k 的取值范圍； （ II）設橢圓與 x 軸正半軸、 y 軸正半軸的交點分別為 AB， ，是否存在常數(shù) k ，使得向量OP OQ? 與 AB 共線？如果存在，求 k 值；如果不存在，請說明理由． 答案： 解：（ Ⅰ ）由已知條件，直線 l 的方程為 2y kx?? ， 代入橢圓方程得 2 2( 2 ) 12x kx? ? ?． 整理得 221 2 2 1 02 k x k x??? ? ? ????? ① 直線 l 與橢圓有兩個不同的交點 P 和 Q 等價于 2 2 218 4 4 2 02k k k??? ? ? ? ? ? ?????， 解得 22k?? 或 22k? ．即 k 的取值范圍為 22? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，． （ Ⅱ ）設 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，則 1 2 1 2()O P O Q x x y y? ? ? ?， 由方程 ① ，12 24212kxx k? ? ? ?． ② [來 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x? ? ? ?． ③ 而 ( 2 0 ) ( 0 1 ) ( 2 1 )A B A B ??， ， ， ， ，． 所以 OP OQ? 與 AB 共線等價于 1 2 1 22 ( )x x y y? ? ? ? 將 ②③ 代入上式，解得 22k? ． 由（ Ⅰ ）知 22k?? 或 22k? ，故沒有符合題意的常數(shù) k ． 第 5 題 .設 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點，若在其右準線上存在點 ,P 使線段 1PF 的中垂線過點 2F ，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） A． 202??? ????， B． 303??? ????， C． 212???? ???， D． 313???? ???， 答案： D 第 6 題 .設 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點， P 是其右準線上縱坐標為 3c （ c 為半焦距）的點，且 1 2 2| | | |F F F P? ，則橢圓的離心率是（ ） A． 312? B． 12 C． 512? D． 22 答案： D 第 7 題 .在平面直角坐標系 xOy 中，已知 ABC△ 的頂點 ( 40)A?， 和 (40)C， ，頂點 B 在橢圓22125 9xy??上，則 sin sinsinACB? ?_____． 答案： 54 第 8 題 . 設橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 1e 2? ，右焦點為 ( 0)Fc， ，方程2 0ax bx c? ? ? 的兩個實根分別為 1x 和 2x ，則點 12()P x x， （ ） Ａ．必在圓 222xy??內(nèi) Ｂ．必在圓 222xy??上 Ｃ．必在圓 222xy??外 Ｄ．以上三種情形都有可能 答案： A 第 9 題 . 設橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 1e 2? ，右焦點為 ( 0)Fc， ，方程2 0ax bx c? ? ? 的兩個實根分別為 1x 和 2x ，則點 12()P x x， （ ） Ａ．必在圓 222xy??上 Ｂ．必在圓 222xy??外 [ Ｃ．必在圓 222xy??內(nèi) Ｄ．以上三種情形都有可能 答案： Ｃ 第 10 題 .已知橢圓 22132xy??的左、右焦點分別為 1F ， 2F ．過 1F 的直線交橢圓于 BD， 兩點，過 2F 的直線交橢圓于 AC， 兩點，且 AC BD? ，垂足為 P ． （ Ⅰ ）設 P 點的坐標為 00()xy， ，證明： 2202032xy??； （ Ⅱ ）求四邊形 ABCD 的面積的最小值．答案： 證明： （ Ⅰ ）橢圓的半焦距 3 2 1c ? ? ? ， 由 AC BD⊥ 知點 P 在以線段 12FF 為直徑的圓上，故 22020xy??， 所以， 2 2 22 0 0 02 1 13 2 2 2 2y x yx ? ? ? ?≤ ． （Ⅱ）（?。┊?BD 的斜率 k 存在且 0k? 時， BD 的方程為 ( 1)y k x??，代入橢圓方程22132xy??，并化簡得 2 2 2 2( 3 2 ) 6 3 6 0k x k x k? ? ? ? ?． 設 11()Bx y， ， 22()D x y， ，則 212 2632kxx k? ? ? ?， 212 23632kxx k ?? ? 22 2 21 2 2 2 1 2 24 3 ( 1 )1 ( 1 ) ( ) 4 32 kB D k x x k x x x x k ???? ? ? ? ? ? ? ??? ?； ] 因為 AC 與 BC 相交于點 P ，且 AC 的斜率為 1k? ， 所以， 222214 3 14 3 ( 1 )1 2332kkACkk?????????????． 四邊形 ABCD 的面積 2 2 2 2222 221 24 ( 1 ) ( 1 ) 962 ( 3 2) ( 2 3 ) 25( 3 2) ( 2 3 )2kkS B D A Ckk kk? ?? ?? ? ??? ??? ? ?????≥． 當 2 1k? 時 ，上式取等號． （ⅱ）當 BD 的斜率 0k? 或斜率不存在時，四邊形 ABCD 的面積 4S? ． 綜上，四邊形 ABCD 的面積的最小值為 9625． 第 11 題 .已知橢圓 22132xy??的左、右焦點分別為 1F ， 2F ，過 1F 的直線交橢圓于 B， D 兩點，過 2F 的直線交橢圓于 A， C 兩點，且 AC BD? ，垂足為 P．