【正文】 ? ． 所以橢圓 C 的方程為 22143xy??，焦點(diǎn)為 12( 1 0) (1 0)FF? ， ， ，； （ 2）設(shè)橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn) 11()K x y， ，線段 1FK 的中點(diǎn) ()Qx y， ，滿足 112 xx ??? ， 12yy? ， 即 1 21xx??， 1 2yy? ． 因此， 22(2 1) (2 ) 143xy? ??，即 2 214 123yx??? ? ?????為所求的軌跡方程． [ 14．已知大西北某荒漠上 A、 B兩點(diǎn)相距 2km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾出一片以 AB為一條對(duì)角線的平行 四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長(zhǎng)為 8km，問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？ 解：由題意，得 4CA CB D A D B A B? ? ? ? ?， 可知平行四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn) CD， 在以 AB， 為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓上 （除長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)）， 以 AB 所在直線為 x 軸，線段 AB 的中垂線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示， 易知 22c? ， 24a? ，所以 12ca??， ，則 2 2 2 3b a c? ? ? ． 故橢圓方程為 22 1( 2)43xy x? ? ? ?，易知當(dāng) CD， 為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，農(nóng)藝園的面積最大，其值為 23km2 ． 15．已知橢圓的焦點(diǎn)是 12( 1 0) (1 0)FF? ， ， ， P 為橢圓上一點(diǎn)，且 12FF 是 1PF 和 2PF 的等差中項(xiàng)． （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若點(diǎn) P 在第三象限，且 12 120PF F??，求 12tan FPF? ． 解：（ 1）由題設(shè)，得 1 2 1 22 F F PF PF??， 24a??，即 2a? ． 又 1c? ， 3b?? ． ?橢圓的方程為 22143xy??； （ 2）設(shè) 12FPF ???，則 21 60PF F ?? ? ?． 由正弦定理，得 1 2 2 1s in s in 1 2 0 s in ( 6 0 )F F P F P F???? ?． 由等比定理，得 1 2 1 2s in s in 1 2 0 s in ( 6 0 )F F P F P F???? ??． 24sin 3 s i n( 60 )2? ??? ??． 整理，得 5 si n 3 (1 c os )????． sin 31 cos 5????? ． 故 3tan 25? ? ， 1232535ta n ta n3 11125F P F ?? ? ? ??． 高中蘇教選修（ 21）圓錐曲線及橢圓水平 測(cè)試題 一、選擇題 1．橢圓 22143xy??的右焦點(diǎn)到直線 33yx? 的距離是（ ） Ａ． 12 Ｂ． 32 Ｃ． 1 Ｄ． 3 答案：Ａ 2．語(yǔ)句甲：動(dòng)點(diǎn) P 到兩定點(diǎn) A， B的距離之和 2PA PB a?? ( 0a? ，且 a為常數(shù) )；語(yǔ)句乙： P點(diǎn)的軌跡是橢圓，則語(yǔ)句甲是語(yǔ)句乙的（ ） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．既不充分又不必要條件 答案：Ｂ 3．過(guò)點(diǎn) ( 32)?， 且與 22194xy??有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是（ ） Ａ． 22115 10xy?? Ｂ． 221225 100xy?? Ｃ． 22110 15xy?? Ｄ． 221100 225xy?? 答案：Ａ 4．設(shè) P是橢圓 22116 12xy??上一點(diǎn)， P到兩焦點(diǎn) 12FF， 的距離之差為 2，則 12PFF△ 是（ ） Ａ．銳角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 答案：Ｂ 5．已知橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的面積為 πS ab? ．現(xiàn)有一個(gè)橢圓，其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的差為 2， 則該橢圓的面積為（ ） Ａ． 15π Ｂ． 15π4 Ｃ． 3π Ｄ． 255π4 答案：Ｄ 6． ( 0)Fc， 是橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的一個(gè)焦點(diǎn)， F與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為 m，最小值為 n，則橢圓上與點(diǎn) F距離為 2mn? 的點(diǎn)是（ ） Ａ． 2bca???????， Ｂ． bca???????， Ｃ． (0 )b?， Ｄ．不存在 答案：Ｃ 二、填空題 7．若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為 2，它的一個(gè)焦點(diǎn)是 (2 150)， ，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 是 ． 答案： 22180 20xy?? 8．一條線段的長(zhǎng)等于 10，兩端點(diǎn) A、 B 分別在 x 軸和 y 軸上滑動(dòng)，點(diǎn) M 在線段 AB 上且4AM MB? ，則點(diǎn) M的軌跡方程是 ． 答案： 2216 64xy?? 9．若焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓 2212xym??的離心率為 12 ，則 m等于 ． 答案： 32 10．已知 橢圓的方程是 222 1( 5)25xy aa ? ? ?，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 12FF， ，且 128FF? ，弦 AB 過(guò) 1F ，則 2ABF△ 的周長(zhǎng)為 ． 答案： 441 11．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10，短軸長(zhǎng)為 8，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍 是 ． 答案： [45]， 12．已知 1 02AB???????， ，是圓 2 21:42F x y??? ? ????? (F 為圓心 )上一動(dòng)點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線交 BF于點(diǎn) P，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程為 ． 答案： 224 13xy?? 三、解答題 13．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 是一個(gè)焦點(diǎn)， A 是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 6，且 2cos 3OFA??，求橢圓的方程． 解： 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 6， 2cos 3OFA??， ?點(diǎn) A 不 是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)， 而是短軸的端點(diǎn)， OF c??， 3AF a??． 233c??． 2c??， 2 2 23 2 5b ? ? ? ． ?橢圓的方程是 22195xy??或 22159xy?? 14． P 為橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上一點(diǎn)， 1F 為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求證：以 1PF 為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切． 證明：如右圖，設(shè) 1PF 的中點(diǎn)為 M ， 則兩圓圓心之間的距離為 2 1 11 1 1( 2 )2 2 2O M P F a P F a P F? ? ? ? ?， 即兩圓圓心之間的距離等于兩圓半徑之差． ?兩圓內(nèi)切，即以 1PF 為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切． 15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知 ABC△ 的兩個(gè)頂點(diǎn) ( 30)B?， ， (30)C， 且三邊 AC、 BC、 AB的長(zhǎng)成等差數(shù)列，求頂點(diǎn) A的軌跡方程． 解： 三邊 AC、 BC、 AB的長(zhǎng)成等差數(shù)列， 2 12A C A B B C B C? ? ? ? ?， ?頂點(diǎn) A 的軌跡是以 BC， 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 12的橢圓（長(zhǎng)軸端點(diǎn)除外）． 由 2 12a? ， 26c? ， 得 6a? ， 3c? ，則 2 2 2 36 9 27b a c? ? ? ? ?． ?頂點(diǎn) A 的軌跡方程為 22 1( 6)36 27xy x? ? ? ?． 橢圓 第 1 題 . 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 2r ，短半軸長(zhǎng)為 r ，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底 AB 是半橢圓的短軸，上底 CD 的端點(diǎn)在橢圓上，記 2CD x? ，梯形面積為 S ． （ I）求面積 S 以 x 為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； 4r C D A B 2r （ II）求面積 S 的最大值． 答案： 解：（ I）依題意，以 AB 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 O xy? （如圖），則點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 x ． 點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) y 滿足方程 22 1( 0)4xy yrr?? ≥， 解得 222 ( 0 )y r x x r? ? ? ? 221 ( 2 2 ) 22S x r r x? ? ? 222( )x r r x? ? ?， 其定 義域?yàn)?? ?0x x r?? ． （ II）記 2 2 2( ) 4( ) ( ) 0f x x r r x x r? ? ? ? ?， 則 2( ) 8 ( ) ( 2 )f x x r r x? ? ? ?． 令 ( ) 0fx? ? ，得 12xr? ． 因?yàn)楫?dāng) 0 2rx?? 時(shí)