【正文】 x1 16 x2 16 無上限 x3 17 192 常數(shù)項數(shù)范圍 : 約束 下限 當前值 上限 1 30 無上限 2 15 435 3 20 90 回答如下問題： （ 1） 第二個約束方程的對偶價格是一個負數(shù)（ ），它的含義是什么？ 7 7 （ 2） X2 的相差值為 ，它的含義是什么。 因 X1= 為最優(yōu)解，因此目標函數(shù)值會隨著 X1 的變化而 改變。因為輸出結果中 X3=0。 （ 4）計算機輸出結果可知，當 X3的系數(shù)在（－ ?， ）范圍內變化時，其最優(yōu)解不變。 （ 3）因為求目標函數(shù)值 MaxZ，因選擇約束條件 3 的對偶價格為 ，當該約束條件改善一個單位時，目標函數(shù)最大值改善 。X3=0。 （ 3） 如果請你選擇一個約束條件，將它的常數(shù)項增加一個單位，你將選擇哪一個約束條件，這時候最優(yōu)目標函數(shù)值是多少？ （ 4） 請問在目標函數(shù)中 X3 的系數(shù)在什么范圍內變化時，其最優(yōu)解不變，這時其最優(yōu)目標函數(shù)值是否會發(fā)生變化，為什么？ （ 5） 請問在目標函數(shù)中 X1 的系數(shù)在什么范圍內變化時，其最優(yōu)解不變，這時其最優(yōu)目 6 6 標函數(shù)值是否會發(fā)生變化，為什么？ 解題如下： 答： （ 1） 其最優(yōu)解是 X1=。 P38:Q5 Q4：考慮下面的線性規(guī)劃問題： Max Z＝ 2X1+X2X3+X4 約束條件： X1X2+2X3+X4=2 X13X2+X3X3X4=4 2X2+X3+2X4=3 X1,X2,X3,X4=0 計算機結果輸出如下： **********************最優(yōu)解如下 ************************* 目標函數(shù)最優(yōu)值為 : 變量 最優(yōu)解 相差值 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 4 約束 松弛 /剩余變量 對偶價格 1 5 0 2 0 2 3 0 目標函數(shù)系數(shù)范圍 : 變量 下限 當前值 上限 x1 .2 2 無上限 x2 3 1 無上限 x3 無下限 1 x4 無下限 1 5 常數(shù)項數(shù)范圍 : 約束 下限 當前值 上限 1 無下限 2 7 2 1 4 無上限 3 0 3 無上限 回答下列問題： （ 1） 請指出其最優(yōu)解及其最優(yōu)目標值 。 4）常數(shù)項為非負。 2）決策變量非負化：若 Xi≤ 0，令 Xi=－ Xia，（ Xia≥ 0）；若 Xi無約束，令 Xi=Xia－ Xib，（ Xia≥ 0， Xib≥ 0）；將上述替換變量代入目標函數(shù)和約束條件。 圖 5 (6) Max Z=3X1+4X2 約束條件： X1+2X2=8 X1+2X2=12 2X1+X2=16 2X15X2=0 X1,X2=0 解題如下： 如圖 6 Max Z = X1= X2= 本題有唯一最優(yōu) 解。 圖 3 （ 4） Max Z＝ 3X12X2 約束條件： X1+X2=1 2X1+2X2=4 X1,X2=0 解題如下：如圖 4： Max Z 無可行解。 圖 1 （ 2） Max z＝ 4X1+8X2 約束條件： 2X1+2X2=10 X1+X2=8 X1,X2=0 解題如下：如圖 2： Max Z 無可行解。 1 1 課程：管理運籌學 管理運籌學 課后答案 第二章 線性規(guī)劃的圖解法 P23： Q2：（ 1）－（ 6）； Q3： (2) Q2：用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出哪個問題具有唯一最優(yōu)解，無窮多最優(yōu)解，無界解或無可行解。 （ 1） Min f＝ 6X1+4X2 約束條件： 2X1+X2=1, 3X1+4X2=3 X1, X2=0 解題如下： 如圖 1 Min f＝ X1=, X2= 本題具有唯一最優(yōu) 解。 圖 2 3X1+4X2=3 2X1+X2=1 （ ， ） 2 2 （ 3） Max z＝ X1+X2 約束條件 8X1+6X2=24 4X1+6X2=12 2X2=4 X1,X2=0 解題如下 ： 如圖 3： Max Z=有無界解。 圖 4 2X1+2X2=10 X1+X2=8 4X1+6X2=12 2X2=4 8X1+6X2=24 3 3 (5) Max Z＝ 3X1+9X2 約束條件： X1+3X2=22 X1+X2=4 X2=6 2X15X2=0 X1,X2=0 解題如下：如圖 5： Max Z =66； X1=4 X2=6 本題有唯一最優(yōu)解。 X1+3X2=22 X1+X2=4 2X15X2=0 X2=6 (4,6) 2X1+2X2=4 X1+X2=1 4 4 圖 6 Q3：將線性規(guī)劃問題轉化為標準形式 （ 2） min f＝ 4X1+6X2 約束條件： 3X12X2=6 X1+2X2=10 7X16X2=4 X1,X2=0 解題如下： 1）目標函數(shù)求最小值化為求最大值：目標函數(shù)等式左邊 min 改為 max，等式右邊各項均改變正負號。 3）約束條件不等式化為等式：不等號為≤的，不等式左邊加松弛變量；不等號為≥的，不等式左邊減剩余變量。 本題標準化如下： 令： z＝ f， 則： Max z＝ min (f)= 4X16X2+0X3+0X4 所以： Max z＝ 4X16X2+0X3+0X4 約束條件： 3X12X2X3+0X4＝ 6 X1+2X2+0X3X4=10 7X16X2+0X3+0X4=4 X1,X2,X3,X4=0 2X1+X2=16 X1+2X2=12 X1+2X2=8 2X15X2=0 (,) 5 5 第三章 線性規(guī)劃問題的計算機求解 P37: Q4。 （ 2） 那些約束條件起到了約束作用，它們的對偶價格各為多 少，請給予說明。X2=。X4=0； 最優(yōu)目標值是 MaxZ= （ 2） 約束條件 3 起到了約束的作用，它們的對偶價格分別為 2 和 。這時目標函數(shù)最大值為 +＝ 22。 且 這時其最優(yōu)目標函數(shù)值不會發(fā)生變化 。 （ 5）計算機輸出結果可知，當 X1 的系數(shù)在（ ， ?）范圍內變化時，其最優(yōu)解不變。 Q考慮下面 線性規(guī)劃問題： MinZ＝ 16X1+16X2+17X3。 （ 3） 當目標函數(shù)中 X1 的系數(shù)從 16 降為 15，而 X2的系數(shù)從 16升為 18 時，最優(yōu)解是否會發(fā)生變化？會發(fā)生變化。 解題如下： 答：（ 1）第二個約束方程的對偶價格是一個負數(shù)（ ），其含義是如果把約束條件 2 的下限 15 增加 1，那么最優(yōu)目標函數(shù)值將增加 。相差值表示為使得相應的決策變量參加最優(yōu)生產(chǎn)組合（最優(yōu)解取正），其價值系數(shù) 至少需要增加的量（ max型目標函數(shù)）或其價值系數(shù)至少需要減少的量（ min 型目標函數(shù)）。因為 X1 在（ , ）和 X2 在 (, ?)范圍內變化時，最優(yōu)解不會發(fā)生變化。 （ 4）當?shù)谝粋€約束 條件的常數(shù)項從 30 變?yōu)?15，而第二個常數(shù)項從 15 變?yōu)?80 時，對偶價格不會發(fā)生變化。常數(shù)項的變化只對目標函數(shù)最優(yōu)解產(chǎn)生影響，對偶價格不會產(chǎn)生變化。該景點遠離市區(qū)，平時顧客不多，而在每個周六顧客猛增。該店雇傭 2 名正式工，每天工作 8 小時。周六 營業(yè)時間 11::。 已知一名正式工從 11 點上班，工作 4 小時后休息 1 小時，而后在工作 4 小時。又知臨時工每小時工資 4元。 （ 2）、這時付給臨時工的工資總額是多少，一共需要安排多少臨時工班次。 （ 3）、如果臨時工每班工作時間可以是 3 小時，也可以是 4 小時，那么如何安排臨時工的班次，使得臨時工總成本最小。 解題如下： 8 8 (1)臨時工的工作時間為 4 小時，正式工的工作時間也是 4 小時，則第五個小時需要新招人員，臨時工只要招用，無論工作多長時間，都按照 4 小時給予工資。從上午 11 時到晚上 10 時共計 11 個班次，則設 Xi(i =1,2,… ,11)個班次招用的臨時工數(shù)量，如下為最小成本： minf＝ 16（ X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11) 兩位正式工一個在 11－ 15 點上班，在 15－ 16 點休息，然