序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)-展示頁
2025-08-03 21:26本頁面
【正文】 設(shè) N=4， 幅度 與 相位 隨ω 變化曲線如下圖所示 s in ( ) s in ( )( 1 )22( ) a r g [ ( ) ] a r g [ ]2s in ( ) s in ( )jjNNNX e X e???????? ? ?? P36 例題 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 在 FT定義式中， n取整數(shù)， 因此下式成立 結(jié)論： (1) 序列的傅里葉變換 是頻率 ω 的連續(xù)周期函數(shù) ，周期是 2π 。 X(ejω )表示了信號在頻域中的 分布規(guī)律 。 2π, 177。一般只分析信號在 一個周期的 FT ( 2 )( ) ( ) ,j j M nnX e x n e? ? ????? ? ?? ?M為整數(shù) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 2. 線性 3. 時移與頻移 設(shè) X(e jω )=FT[x(n)]， 那么 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )],[ ( ) ( )] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?設(shè)： 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )],[ ( ) ( )] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?則： 式中 a, b為常數(shù) 0000([ ( )] ( )[ ( )] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????0000([ ( )] ( )[ ( )] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????) 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )],[ ( ) ( )] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?改變相位 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 4. FT的對稱性 (1) 共軛對稱序列 共軛對稱序列 xe(n)滿足： 將 xe(n)用其實(shí)部與虛部表示： 上式兩邊 n用 n代替，取 共軛： 得到： xe(n)=x*e(n) xe(n)=xer(n)+jxei(n) x*e(n)=xer(n)jxei(n) xer(n)=xer(n) xei(n)=xei(n) 實(shí)部是偶函數(shù) 虛部是奇函數(shù) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (2) 共軛反對稱序列 共軛反對稱序列滿足： 將 x0(n)用其實(shí)部與虛部表示： 上式兩邊 n用 n代替 ， 取 共軛： 對比上面兩公式 ， 左邊相等 ， 因此得到 xo(n)=－ x*o(n) xo(n)=xor(n)+jxoi(n) x*o(n)=xor(n)－ jxoi(n) 實(shí)部是奇函數(shù) 虛部是偶函數(shù) xor(n)=－ xor(n) xoi(n)= xoi(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) [例 1] 試分析 x(n)=e jωn 的對稱性 解： 將 x(n)的 n用 n代替 ， 再取共軛 得到： x*(n)= e jωn 因此 x(n)=x*(n)， x(n)是 共軛對稱序列 。 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (3) 任意序列可表示成共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和 xe(n), xo(n)和原序列 x(n)有何關(guān)系？ 將上式中的 n用 n代替， 取共軛： 根據(jù)上面兩式 ， 得到 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ? x*(n)=xe(n)xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (4) 頻域函數(shù) X(ejω )的對稱性 任意頻域函數(shù) X(ejω )可表示成 共軛對稱部分 和 共軛反對稱部分之和 ： X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω ) = X*e(e－ jω ) Xo(ejω ) =－ X*o(e－ jω )
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