序列的z變換-展示頁(yè)
2025-07-30 21:10本頁(yè)面
【正文】 0|z|∞。)(,)()( 2121nnnznxznxzX nnnnn ?????? ???? ，若?。 ????0)(nnznxxRZ? ? ? ? 對(duì)于負(fù)冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)橐?Rx為半徑的圓外， Rx為其最外部極點(diǎn)的模值。 ]Re[ z]Im[ zjxR?同樣 ,對(duì)于級(jí)數(shù) ，若滿足 ，級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。 RX+為最大收斂半徑。 傅立葉變換 s平面與 z平面的映射 二 .收斂域 : 使序列 x(n)的 z變換 X(z)收斂的所有 z值的 集合稱作 X(z)的收斂域 . ： X(z)收斂的充要條件是 絕對(duì)可和。 ????????nnznxnxZzX )()]([)( Z變換的定義及收斂域 一 .Z變換定義： 序列的 Z變換定義如下： ,jTSTzez e S j???? ? ? ? *實(shí)質(zhì)是將 x(n)展為 z1的冪級(jí)數(shù)。 ： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 DFT(FFT)、 復(fù)頻 域（ ZT）分析。 ： 序列的變換與運(yùn)算，卷積和，差分方程 的求解。第七講 Z變換 本講要 點(diǎn) ? Z變換收斂域的意義 ? Z變換收斂域的特點(diǎn) ? Z變換與傅里葉變換的關(guān)系 ? Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系 ? 如何根據(jù)序列特性判斷收斂域 ? Z反 變換的唯一性 第二章作業(yè) 21 （ 1）（ 3）（ 4）（ 6）（ 7）， 22， 23， 24， 25 （ 1）（ 3）（ 5）， 26 （ 1）（ 3）， 210， 212， 213 214（ 2）（ 3）（ 6）， 216， 223， 224， 228 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域、變換域兩種。 一 .時(shí)域分析法 ： 信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算，時(shí)域分解，經(jīng)典時(shí)域 分析法，卷積積分。 二 .變換域分析法 ： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 （ FT） 、復(fù)頻域（ LT）分析。 Z變換在 離散信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中的 意義等價(jià)于 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的拉氏變換。因此存在收斂域的問(wèn)題。 ????????? Mznxnn)(即：?????????? Mx ( n ) rnn則若令 ?jreZ ? （ ROC）特點(diǎn) ? Z變換的收斂域是中心在原點(diǎn)的圓盤或環(huán)狀區(qū)域； ? 僅當(dāng) ROC包含單位圓時(shí)，序列的傅里葉變換存在； ? 收斂域內(nèi)部不包含任何極點(diǎn)且是連通的，也即收斂域是以極點(diǎn)為邊界的； ? Z變換加收斂域才能唯一確定一個(gè)序列 序列收斂域預(yù)備知識(shí) 阿貝爾定理 : 如果級(jí)數(shù) ，在 收斂 ,那么 ,滿足 0≤ |z|Rx+的 z,級(jí)數(shù)必絕對(duì)收 斂。 ( 0 )ZR ?????? 0)(nnznx]Re[ z]Im[ zjxR?對(duì)于正冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)橐?Rx+為半徑的圓內(nèi)， Rx+為其最內(nèi)部極點(diǎn)的模值。 Rx_為最小收斂半徑。 0 n2 n1 n (n) . . . x ??? ???nnnnnxnx其他,0),()( 21。)( 21 nnnznx n ????? ，是有界的，必有考慮到 平面”。 第二項(xiàng)為 z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知 , 其收斂域?yàn)? Rx|z|≤∞。 Rx為 最小 收斂半徑。 第一項(xiàng)為 z的正冪次級(jí)數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理 , 其收斂域?yàn)? 。 ? ??????????????? ???01)()()()(n nnnnn znxznxznxzX 0 n ??x 第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋? 第一項(xiàng)為右邊序列 (因果 )其收斂域?yàn)椋? ??? xRz0?? xRz?xR]Re[ z]Im[ zj?xR當(dāng) RxRx+時(shí)，其收斂域?yàn)? ?? ?? xx RzR例 x(n)=u(n)， 求其 Z變換。 ,0 ??? zz,0 ??? z[例 21] 求序列 的 Z變換及收斂域。 az ?為解析函數(shù)，故收斂。)(111,111zXazazazzazqaSazq???????????[例 ]求序列 的 Z變換及收斂域。 ]R e[ z]Im [ zjxR?a0收斂域： az ?例 的 Z變換及收斂 域。 ]Re[ z]Im[ zja收斂域： za?*左邊序列的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。 )]([)( 1 zXZnx ??記作：),(,)(21)(,)()(1?????????????????xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX?反：正：]Im[ zj]Re[z?xR?xRC為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線 . 0 c 由留數(shù)定理可知 ： ??????????? ?? ???????cmzznnckzznnmkzzXsdzzzXjzzXsdzzzXj])([Re)(21])([Re)(211111?? 為 c內(nèi)的第 k個(gè)極點(diǎn)， Zm 為 c外的第 m個(gè)極點(diǎn)， Res[ ]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。 mzkz二 .求 Z反變換的方法 當(dāng) Zr為 l階 (多重 )極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： rrzznlrllzznzzXzzdzdlzzXs?????????])()[()!1(1])([Re1111留數(shù)的求法： 當(dāng) Zr為 一 階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： rr zznrZZn zzXzzzzXs ???? ?? ])()[(])([Re 11例 已知 X(z)=(1az1)1， |z|a， 求其逆 Z變換 x(n)。 ? 解： 該例題沒(méi)有給定收斂域 ， 為求出可能的原序列 x(n)， 必須先確定收斂域 ，分析 X(z)， 得到其二個(gè)極點(diǎn) z=a和 z=a1， 于是 收斂 域有三種選法 ， 它們是 ? (1) |z||a1|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是右序列； ? (2) |a||z||z1|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是雙邊序列； ? (3) |z||a|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是左序列 。 ? (1) 收斂域 |z||a1| 2 11211()( 1 )( 1 )1( )( )nnaF z za z a zaza z a z a?????????? ? ? 此收斂域?qū)?yīng)因果的右序列 ， 無(wú)須求 n0時(shí)的 x(n)。 n0時(shí)， c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) z=0， 且是 n階極點(diǎn)， 改求 c外極點(diǎn)留數(shù)之
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