序列的z變換-資料下載頁
2025-07-21 21:10本頁面
【正文】 ??????22)(21)()()(.3 利用 Z變換解差分方程 ? 在第一章中介紹了差分方程的遞推解法 ，本節(jié)介紹用 Z變換求解差分方程 。 這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程 ， 使求解過程簡單 。 ? 設(shè) N階線性常系數(shù)差方程為 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ??? 如果輸入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞時加上的 ， n時 刻的 y(n)是穩(wěn)態(tài)解 ， 對差分方程求 Z變換 ， 得到 0000001( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) [ ( ) ]NNkkkkkkNkkkNkkkNkkkNkkka Y z z b X z zbzY z X zazY z H z X zbzHzazy n Z T Y z?????????????????????????式中 2. 求暫態(tài)解 ? 對于 N階差分方程 ， 求暫態(tài)解必須已知 N個初始條件 。 設(shè) x(n)是因果序列 ， 即x(n)=0,n0， 已知初始條件 y(1),y(2)…y(N)。 對差分方程進(jìn)行 Z變換時 ， 注意這里要用單邊 Z變換 。 方程式的右邊由于 x(n)是因果序列 ， 單邊 Z變換與雙邊 Z變換是相同的 。 但 y(n)的單邊 Z變換與雙邊 Z變換是不同的 。 所以必須先求 y(n)移位序列的單邊 Z變換 。 00()0101( ) ( )[ ( ) ( ) ] ( )()()[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]nnnnm n mnmkkmm k kk k mmkkmY z y n zZ T y n m u n y n m zz y n m zz y k zz y k z y k zz Y z y k z???????? ? ????????? ? ?? ? ???????? ? ???????????????? 對差分方程進(jìn)行單邊 Z變換 10010000[ ( ) ( ) ] ( )()( ) ( )kNMk l kkk l k kMNk k lkkk k i kNNkkkkkka z Y z y l z b X z zb z a z y l zY z X za z a z?? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?????????? ? ?? ? ???() ? 例 y(n)=by(n1)+x(n)，式中 x(n)=anu(n),y(1)=2，求 y(n)。 ? 解：將已知差分方程進(jìn)行 Z變換 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z b z Y z b y X zb X zYzbz??? ? ? ????式中， 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 ) ( 1 )bYzbz az bz? ? ???? ? ?? 收斂域為 |z|max(|a|,|b|)， 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項為零輸入解 ， 第二項為零狀態(tài)解 。 Z變換與拉氏變換、 傅氏變換的關(guān)系 （補充） 一 .Z變換與拉氏變換的關(guān)系（ 注意聯(lián)系的橋梁 ） 設(shè) 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號， 則 )(txa )(? txa? ?? ?? ????????????????????????????????????????n nnsTan T sanstastnastaaaenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX))(()()()()]()[)(?)](?[)(???（????????nnsTaaa enTxtxLsX ))(()](?[)(?因此， 序列 x(n)的 z變換為 ，考慮到 ,顯然，當(dāng) 時，序列 x(n) 的 z 變 換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。 )()( nTxnx a?nnznxzX ??????? )()(sTez?)(?)()( sXeXzX asTez sT ???即兩個域的映射關(guān)系 ? ( S、 Z平面映射關(guān)系） S平面用直角坐標(biāo)表示為： Z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有： 因此， 。這就是說， Z的模只與 S的實部相對應(yīng) , Z的相角只與 S虛部 Ω相對應(yīng)。 Ter T ??? ?? ,TjTj eerez ??? ???sTez ??jrez ???? js ? =0,即 S平面的虛軸 r=1,即 Z平面單位圓； σ → σ σ 0,即 S的左半平面 r1,即 Z的單位圓內(nèi)； → 0, 即 S的右半平面 r1,即 Z的單位圓外 。 → j → 0 0 (1).r與 σ 的關(guān)系 )( Ter ??Ω= 0， S平面的實軸， ω= 0， Z平面正實軸； Ω=Ω 0(常數(shù) )， S:平行實軸的直線， ω= Ω 0T,Z:始于 原點的射線； Ω S:寬 的水平條帶， ω 整個 z平面 . 0 jIm[Z] Re[Z] T?3?T?T??T?3TTT??? 2),( ??(2).ω與 Ω的關(guān)系（ ω=ΩT） ),( ????ω ?j?二 .Z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后 ,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道 ,傅氏變換是拉氏變換在虛軸 S=jΩ 的特例 ,因而映射到 Z平面上為單位圓。因此 , 這就是說 ,（抽樣）序列在 單位圓 上的 Z變換 ,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。 用數(shù)字頻率 ω作為 Z平面的單位圓的參數(shù)， ω表示 Z平面的輻角，且 。 ?????????kaa TjkjXTjX )2(1)(? ?)(?)()( ??? ?? ? jXeXzX aTjez Tj?jez ?T???，則考慮到 T???)(?)()( ???? jXeXzX ajez j ???????????kaa TjkjXTjX )2(1)(? ??又)2(1)()( ??????????kajez TkjXTeXzX j ????所以，序列在單位圓上的 Z變換為序列的傅氏變換。
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