傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用-展示頁
2025-07-05 16:09本頁面
【正文】 為ft的傅里葉變換，記作Fω＝∞+∞eiωtftdt。算子理論最初的理論依據(jù)就是拉普拉斯變換的相關(guān)理論，拉普拉斯變換相關(guān)理論的繼續(xù)發(fā)展也是得益于算理理論的更進一步發(fā)展。亥維賽（18501925）在電學相關(guān)問題之中引入了算子運算，而且得到了不少方法與結(jié)果，對于解決現(xiàn)實問題很有好處，這才引起了數(shù)學家對算子理論的嚴格化的興趣。（拉普拉斯）（17491827）在他的與概率論相關(guān)科學研究中引入，在他的一些基本的關(guān)于拉普拉斯變換的結(jié)果寫在他的著名作品《概率分析理論》之中。傅里葉變換和拉普拉斯變換是兩種重要積分變換。積分變換的使用，可以使求解微分方程的過程得到簡化，比如乘積可以轉(zhuǎn)化為卷積。利用變換可簡化運算，比如對數(shù)變換，極坐標變換等。類似的，變換也存在于工程，技術(shù)領(lǐng)域，它就是積分變換。什么是積分變換呢？即為利用含參變量積分，把一個屬于A函數(shù)類的函數(shù)轉(zhuǎn)化屬于B函數(shù)類的一個函數(shù)。傅里葉變換能夠分析信號的成分，可以當做信號的成分的波形有很多，例如鋸傅立葉變換是利用正弦波來作為信號的成分。即使在19世紀初，拉普拉斯變換已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，但是關(guān)于拉普拉斯變換的相關(guān)研究卻一直沒什么太大進展，直至一個英國數(shù)學家，物理學家，同時也是一位電氣工程師的Oliver Heaviside奧利弗之后才創(chuàng)立了現(xiàn)代算子理論。這篇文章就是針對傅里葉變換和拉普拉斯變換的相關(guān)定義，相關(guān)性質(zhì)，以及相關(guān)應(yīng)用做一下簡要討論，并且分析傅里葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系。（傅里葉級數(shù)）設(shè)函數(shù)ft的周期為T，則它的傅里葉級數(shù)為：fTt=a02+n=1+∞ (ancosωt+bnsinωt) 上式中， ω=2πT a0=T2T2fTtdtan=2T+T2T2fTtcosnωtdt (n=1,2,3,?) bn=2T+T2T2fTtsinnωtdt (n=1,2,3,?) （傅里葉逆變換）ft=12π∞+∞eiωtFωdω（拉普拉斯變換） 若函數(shù)ft滿足0+∞estf(t)dt積分收斂，那么該積分記作Ls=Lft=0+∞estftdt式中s為復(fù)數(shù)，est為積分核，上式稱為拉普拉斯變換.（拉普拉斯逆變換）ft稱為F(s)的拉普拉斯逆變換ft＝L1ft（卷積）假如?1(t)和?2(t)是（∞，+∞）上面有定義的函數(shù)，則∞+∞ ?1(τ) ?2(tτ)dτ稱為?1(t)和 ?2(t)的卷積，記為?1(t)*?2(t)?1(t)*?2(t)＝∞+∞ ?1(τ) ?2(tτ)dτ （線性性質(zhì)） 設(shè)α，β為常數(shù)，F(xiàn)1ω=F[?1(t)]，F(xiàn)2ω=F[?2(t)]則：FαF1t+βF2t=αF1ω+βF2(ω)F1αF1ω+βF2ω=αF1t+βF2(t) （位移性質(zhì)） 設(shè)F[ft]＝F(ω)，則 F[f(t177。jωt0F[f(t)]F1[f(ω?ω0)]=e177。t]=iωFω。 證明 由傅里葉變換的定義有 Ff39。teiωtdt=∞+∞eiωtdf(t)=fteiωt|+∞∞+iω∞+∞f(t)eiωtdt=iωFω（積分性質(zhì)） 設(shè)Fft=F(ω)，若，limt→+∞∞tf(t)dt=0 則：F∞t
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