序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(更新版)
【正文】 n x h n mY e F T y n x m h n m eY e h k e x m e eh k e x m eH e X e? ? ? ??????? ? ??? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???????????????m ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )mnmj j k j k jkmj k j kkmjjy n x m h n mY e F T y n x m h n m eY e h k e x m e eh k e x m eH e X e? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???????????????定理說明 ： 兩序列 卷積 的 FT服從 相乘 關(guān)系，對(duì)于 線性時(shí)不變系統(tǒng) ，輸出的 FT等于輸入信號(hào)的 FT乘以單位脈沖響應(yīng)的 FT 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 6. 頻域卷積定理 設(shè)： y(n)=x(n) 4π …表示信號(hào)的 直流分量 ，在 ω ＝ (2M＋ 1)π時(shí)是 最高的頻率分量 。 FT成立的 充要條件 是序列 x(n)滿足 絕對(duì)可和的條件 ， 即滿足下式： ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?()nxn?? ?????序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) [例 ]:設(shè) x(n)=RN(n) ， 求 x(n)的 FT ?????jNj1N0nnjnjnNje1e1ee)n(R)e(X?????????? ???????2si n)2Nsi n (e 2)1N(j??????si n( )2()si n( )2si n( )( 1 ) 2a r g[ ( ) ] a r g[ ]2si n( )2jjNXeNNXe????????????序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) [例 ]:設(shè) x(n)=RN(n) ， 求 x(n)的 FT 設(shè) N=4， 幅度 與 相位 隨ω 變化曲線如下圖所示 s in ( ) s in ( )( 1 )22( ) a r g [ ( ) ] a r g [ ]2s in ( ) s in ( )jjNNNX e X e???????? ? ?? P36 例題 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 在 FT定義式中， n取整數(shù)， 因此下式成立 結(jié)論： (1) 序列的傅里葉變換 是頻率 ω 的連續(xù)周期函數(shù) ，周期是 2π 。 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (3) 任意序列可表示成共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和 xe(n), xo(n)和原序列 x(n)有何關(guān)系？ 將上式中的 n用 n代替， 取共軛： 根據(jù)上面兩式 ， 得到 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ? x*(n)=xe(n)xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (4) 頻域函數(shù) X(ejω )的對(duì)稱性 任意頻域函數(shù) X(ejω )可表示成 共軛對(duì)稱部分 和 共軛反對(duì)稱部分之和 ： X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω ) = X*e(e－ jω ) Xo(ejω ) =－ X*o(e－ jω ) Xe(ejω ), Xo(ejω )和原頻域函數(shù) X(ejω )的關(guān)系 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????1( ) [ ( ) ( )]2j jej j joX e X e X e? ? ???????序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (5) 研究 FT的對(duì)稱性 (a) 將序列 x(n)表示成實(shí)部 xr(n)與虛部 xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進(jìn)行 FT， 得到 : X(e jω )=Xe(e jω )+Xo(e jω ) 結(jié)論 ： 序列分成 實(shí)部 與 虛部 兩部分 ， 實(shí)部對(duì)稱的 FT具有共軛對(duì)稱性 ， 虛部 （ 包含 j） 一起對(duì)應(yīng)的 FT具有共軛反對(duì)稱
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