直線與圓錐曲線的位置關系典型例題-展示頁
2025-07-31 17:02本頁面
【正文】 0∴ 且m≠0∴ 評注：利用雙曲線的定義找到點P軌跡是重要一步，當題目條件有等量關系時，一般考慮利用函數思想，建立函數關系式。分析：根據題意，從點P的軌跡著手∵ ||PM||PN||=2m∴ 點P軌跡為雙曲線，方程為（|m|1） ①又y=177。評注：由|PF1||PF2|的條件，直角頂點應有兩種情況，需分類討論。法一：當∠PF2F1=900時，由得： ，∴ 當∠F1PF2=900時，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2∴ 法二：當∠PF2F1=900，∴ ∴ P（）又F2（，0）∴ |PF2|=∴ |PF1|=2a|PF2|=當∠F1PF2=900，由得： P（）。例設FF2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、FF2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1||PF2|，求的值。與雙曲線共焦點的雙曲線為（a2+k0，b2k0）。分析：法一：（1）雙曲線的漸近線為令x=3，y=177。例題研究例 根據下列條件，求雙曲線方程。 當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；后一種情形下，消元后關于x或y方程的二次項系數為0。 直線和圓錐曲線位置關系（1） 位置關系判斷：△法（△適用對象是二次方程，二次項系數不為0）。其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一種情形下，消元后關于x或y方程的二次項系數為0。（2） 直線和圓錐曲線相交時，交點坐標就是方程組的解。 圓錐曲線中參數取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。（1） 與雙曲線有共同漸近線，且過點（3，）；（2） 與雙曲線有公共焦點，且過點（，2）。4，因，故點（3，）在射線（x≤0）及x軸負半軸之間，∴ 雙曲線焦點在x軸上設雙曲線方程為，（a0，b0） 解之得：∴ 雙曲線方程為 （2）設雙曲線方程為（a0，b0）則 解之得：∴ 雙曲線方程為法二：（1）設雙曲線方程為（λ≠0）∴ ∴ ∴ 雙曲線方程為（3） 設雙曲線方程為 ∴ 解之得：k=4∴ 雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為（λ≠0），當λ0時，焦點在x軸上；當λ0時，焦點在y軸上。比較上述兩種解法可知，引入適當的參數可以提高解題質量，特別是充分利用含參數方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想。解題思路分析：當題設涉及到焦半徑這個信息時，通常聯(lián)想到橢圓的兩個定義。下略。例設點P到M（1，0），N（1，0）的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m取值范圍。2x（x≠0） ②①②聯(lián)立得：將此式看成是關于x的二次函數式，下求該二次函數值域，從而得到m 的取值范圍。例已知x2+y2=1，雙曲線(x1)2y2=1，直線l同時滿足下列兩個條件：①與雙曲線交于不同兩點；②與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得弦的中點。分析：選擇適當的直線方程形式，把條件“l(fā)是圓的切線”“切點M是弦AB中點”翻譯為關于參數的方程組。1且△0時，設A（x1，y1），B（x2，y2），則中點M（x0，y0），∴ y0=kx0+b=∵ M在⊙O上∴ x02+y02=1∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1k2)2 ②由①②得： 或 ∴ l：或法二：設M（x0，y0），則切線AB方程x0x+y0y=1當y0=0時，x0=177。1(舍)，x0=∴ y0=。例A、B是拋物線y2=2px（p0）上的兩點，且OA⊥OB，（1） 求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；（2） 求證：直線AB過定點；（3） 求弦AB中點
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