最小二乘法的原理及在建模中的應用分析-展示頁
2025-07-08 03:36本頁面
【正文】 對最小二乘法中加權平方,即其中,是上給定的權函數(shù),它表示不同的點地位的強弱,例如點處的權可以用來表示數(shù)據(jù)在實驗中重復的次數(shù),也可以用來表示數(shù)的準確度,越準確,它的地位越重要,:Step1 將數(shù)據(jù)點描在坐標紙上尋找規(guī)律Step2 設定數(shù)學模型,給出函數(shù)空間Step3 利用最小二乘法求的,其中,滿足S(x)可表達為表為是權函數(shù)具體的求出,相當于求解法方程=Step4 求出誤差的大小,即Step5 分析并找模型的優(yōu)缺點,求誤差,若誤差大,則應重新設立模型,曲線擬合最小二乘法流程圖見附錄B. 曲線擬合的模型分類實際應用中,由于觀測數(shù)據(jù)較多,即能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢,又不出現(xiàn)局部較大的波動即可,很大程度依賴于模型的選取,本節(jié)重點介紹了選取不同模型的方法. 線性模型已知觀測點如圖,需要擬合線性函數(shù),. 線性擬合圖設直線方程的表達式為,假定自變量的誤差可以忽略,則在同一下,點和直線上的點的偏差如下所示顯然大多時候測量點不可能都在直線上,一般令為最小值 ,即 D對和分別求一階偏導數(shù)為再求二階偏導數(shù)為顯然 滿足最小值條件,令一階偏導數(shù)為零:引入平均值 則有 解得 (13)將,值帶入線性方程,即得到線性方程.為了加深對最小二乘擬合原理的理解,現(xiàn)舉出如下例子,通過舉例使大家對最小二乘擬合有所掌握. 已知一組實驗數(shù)據(jù)如表11所示,求它的擬合曲線.表11 數(shù)據(jù)表1234524589. 散點圖發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線附近,.其次,由已知有,求得,于是法方程為由公式(13)得,并解此方程組得故所得的擬合函數(shù)為 非線性模型在許多實際問題中,變量之間的關系并不都是線性的,也就是說變量之間存在非線性關系,:一種是進行一些變換,將非線性問題化成線性問題來求解。 Matlab目 錄緒 論 1第一章 最小二乘法概述 3 預備知識 3 最佳平方逼近問題 4 曲線擬合問題 6 曲線擬合的模型分類 8 線性模型 8 非線性模型 11 總結 13第二章 最小二乘法在建模中的應用 16 應用舉例 16 病態(tài)方程 18 建模分析 20 總結 24參考文獻 25附錄A 最佳平方逼近流程圖 26附錄B 曲線擬合流程圖 27附錄C 部分Matlab程序 28謝 辭 33緒 論在科學研究中,為了揭示某些相關量之間的關系,找出其規(guī)律,往往需要做數(shù)據(jù)擬合,其常用方法一般有傳統(tǒng)的插值法、最佳一致逼近多項式、最佳平方逼近、最小二乘擬合、三角函數(shù)逼近、帕德（Pade）逼近等,以及現(xiàn)代的神經(jīng)網(wǎng)絡逼近、模糊逼近、支持向量機函數(shù)逼近、小波理論等.其中,最小二乘法是一種最基本、最重要的計算技巧與方法. 它在建模中有著廣泛的應用,用這一理論解決討論問題簡明、清晰,其基本理論與應用已經(jīng)成為一個不容忽視的研究課題.1805年勒讓德(Legendre)發(fā)表的論著《計算彗星軌道的新方法》附錄中,最早提到最小二乘法,Legendre之所以能做出這個發(fā)現(xiàn),是因為他沒有因襲前人的方法—要設法構造出個方程去求解,他認識到關鍵不在于使某一方程嚴格符合,而在于要使誤差以一種平衡的方式分配到各個方程,具體地說,他尋求這樣的值,使得達到最小.1809年,高斯(Gauss)發(fā)表論著《天體運動理論》,對其誤差進行了研究,再該書末尾,他寫了一節(jié)有關“數(shù)據(jù)結合”的問題,以及其簡單的手法導出誤差分布正態(tài)分布,并用最小二乘法加以驗證.關于最小二乘法,他提醒說科學發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權只能以出版物確定,這倆位數(shù)學家之間關于優(yōu)先權的爭論僅次于牛頓(Newton)和萊布尼茲(Leibniz),Gauss就使用這個原理,但第一個用文字形式發(fā)表的是Legendre.最小二乘法在19世紀初發(fā)明后,誤差的分布是“正態(tài)”的,在19世紀極為流行,一些學者甚至把19世紀的數(shù)理統(tǒng)計學稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時代.綜上可知,Legendre和Gauss發(fā)現(xiàn)最小二乘法是從不同的角度人手的:一個是為解線性方程組,一個是尋找誤差函數(shù)。The curve fitting。 MatlabAbstractLeastsquare method is one of the most fundamental and most important calculation methods and skills in modeling. It is widely used in solving this theory, discuss the problem with concise, clear characteristics, especially in the research of data analysis
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