行列式計(jì)算方法研究畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-04 14:22本頁面
【正文】 行列式等式．例1 計(jì)算階行列式．解 按第一列展開．于是有=，及 =．從上兩式削去，得．對(duì)于形如的所謂三角行列式，可直接展開得兩項(xiàng)遞推公式，然后采用如下方法求解．方法1 如果較小，則直接遞推計(jì)算．方法2 用第二數(shù)學(xué)歸納法：即驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立，設(shè)結(jié)論成立，若可證明出時(shí)結(jié)論也成立，則對(duì)任意自然數(shù)結(jié)論也成立．方法3 將變形為，其中，．由韋達(dá)定理知和是一元二次方程的兩個(gè)根．確定和后，令，利用遞推求出，再由遞推求出．方法4 設(shè)，代入，得，因此有（稱為特征方程），求出根和（假設(shè)），則這里,可通過取和來確定． 例2 求階行列式的值.解 按第一行展開得，即作特征方程解得，則 當(dāng)時(shí)，代入式得當(dāng)時(shí)，代入得 聯(lián)立求解得，故．例3 計(jì)算階行列式．解 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí)=.假設(shè)時(shí)，有.則當(dāng)時(shí)，把按第一列展開，得==.第5節(jié) 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素方冪遞增的特點(diǎn)，因次遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或者遞減的行列式時(shí)，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應(yīng)的結(jié)果求值．定義 1 范德蒙行列式．例1 計(jì)算行列式． 解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此類推直到把新的第行的－1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =，其中“”表示連乘號(hào)． 第6節(jié) 計(jì)算行列式雜例計(jì)算某些行列式有時(shí)特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法叫做加邊法．當(dāng)然，加邊后要保證行列式的值不變，并且要使所得的高一階行列式容易計(jì)算．要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列．加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分別為個(gè)元素的倍數(shù)的情況．例1[3] 計(jì)算行列式．解 給原行列式加邊 =．例2[3] 計(jì)算行列式．解 由行列式定義知為的4次多項(xiàng)式,當(dāng)時(shí)，行相同，有，所以為的根；當(dāng)時(shí)，行相同，有, 所以為的根．故有4個(gè)1次因式：，．設(shè)，令，則，即，所以．所以．當(dāng)行列式各行(列)和相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同可采用如下步驟．(1)在行列式的各元素中加上一個(gè)相同的元素,使新行列式除主對(duì)角線外,其余元素均為0；(2)計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式；(3) ．例 3[3] 求行列式的值．解 在上的各個(gè)元素上加
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