行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應用_畢業(yè)論文-展示頁
2024-09-08 21:46本頁面
【正文】 則是解決行列式相關(guān)問題的重要理論依據(jù)。本文首先用三種方法證明了行列式的乘法規(guī)則，包括數(shù)學歸納法，利用拉普拉斯定理證明和用矩陣分塊思想證明。 關(guān)鍵詞： 行列式；拉普拉斯定理；分塊矩陣 The Proof Methods of Determinant Multiplication Rule and Its Applications Name: Xia Jiajun Student Number: 202040510340 Advisor: Tang Jian Abstract: The multiplication rule of the determinant is the important theoretical basis to solve the associated problems. Through learning about it, it is helpful for us to better master and apply the solving skills of the determinant problem to solve related problems. Firstly, this paper use three methods to prove the multiplication rule of the determinant, including mathematical induction, the Laplace theorem and the through of partitioned matrices .Finally, give some applications of the multiplication rule of determinant. Key words: determinant。 partitioned matrix 目 錄 ....................................................... 1 ............................................. 1 .............................................. 1 ............................................ 5 ................................................ 8 ............................................. 9 .............................................................. 11 參考文獻 .............................................................. 11 致 謝 ................................................................. 13 1 線性方程組是數(shù)學中最基礎也是應用最廣泛的內(nèi)容之一，而行列式是解線性方程組的一個基本工具。在學習行列式的過程中，它自身的特點和性質(zhì)是基礎中的基礎，決定著其它有關(guān)內(nèi)容的掌握程度。由于行列式的計算方 法多樣，應用靈活，我們要根據(jù)題目的具體要求選擇簡便的方法，使問題解決簡單化。通過對行列式乘法規(guī)則的掌握，也有利于我們進一步的理解和應用行列式去探討其它一些重要問題。 命題 1（ 行列式的乘法規(guī)則） 若 兩個 r 階行列式 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 1 2,rrr r r r r r r rn n n m m mn n n m m mN Μn n n m m m??LLM M M M M MLL， 則 N 與 M 的乘積 NM 是一個 r 行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212,rrr r rrc c cc c cCc c c? 其中 1, , 1 , 2 , , .rik ij jkjn m i k r???? c 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個引理： 引 理 1 證明 : 2 11 12 121 22 21211 12 121 22 2120 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1rrr r rrrrr r rrn n nn n nn n nDm m mm m mm m m???? 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 1 2.rrr r r r r r r rn n n m m mn n n m m mn n n m m m? . 證明 首先我們對 r 的個數(shù)作數(shù)學歸納法。 假設當 1rk??時，引理結(jié)論成立 ,即 11 1 , 11 ,1 1 , 111 1 , 11 ,1 1 , 111 1 , 1 11 1 , 11 ,1 1 , 1 1 ,1 1 , 100001001= . .kk k kkk k kkkk k k k k knnnnDmmmmn n m mn n m m?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ???? 現(xiàn)在我們來看當 rk? 時，引理結(jié)論是否成立。 因此， 根據(jù)數(shù)學歸納法原理，引理 1 得證。 首先需證明以 下引理： 引理 3 行列式 D 的任一子式 M 與它的代數(shù)余子式 A 的乘積中的每一項都是行列式 D 的展開式中的一項，而且符號也一致。令 M 展開后 的一般項為 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) ,rr rrp p p q q q p q p q p qa a a
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