拉普拉斯變換在求解微分方程中應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-07-03 22:59本頁(yè)面
【正文】 性質(zhì) 若 ,則 .]fat⑺卷積性質(zhì) 若 , ，11[()]fts22[()s則 ，2LtF??其中 稱(chēng)為 與 的卷積 [3].1120()()tfftd?????)(1tf2tf由于從定義以及性質(zhì)求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換困難且復(fù)雜，在控忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）3制工程中，常常通過(guò)查閱已編好的“拉氏變換對(duì)照表”來(lái)實(shí)現(xiàn)。 0LftFf?高階推廣 若 ,則有 .s239。為避免上述兩個(gè)缺點(diǎn)，將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)改造，便產(chǎn)生了拉普拉斯變換 [1]。目 錄引言 ................................................................11 拉普拉斯變換以及性質(zhì) ..............................................1 拉普拉斯變換的定義 .......................................................1 拉普拉斯變換的性質(zhì) .......................................................22 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟 ..............................33 拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用 ..............................4 初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題 .......................................................4 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程 ................................................5 含 ?函數(shù)的常微分方程 .....................................................6 常微分方程組 ...............................................................7 拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用 ........................7 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣 ..............................114 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用 .............................12 齊次與非齊次偏微分方程 ..................................................12 有界與無(wú)界問(wèn)題 ...........................................................155 綜合比較，歸納總結(jié) ...............................................19結(jié)束語(yǔ) .............................................................20參考文獻(xiàn) ...........................................................20英文摘要 ...........................................................21致謝 ...............................................................21忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）1拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用 物理系 0801 班 學(xué) 生 岳艷林 指導(dǎo)老師 韓新華摘 要：拉普拉斯變換在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介紹拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)；其次給出拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟；然后重點(diǎn)舉例拉普拉斯變換在求解常微分方程（初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題、常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程、含 函?數(shù)的常微分方程、常微分方程組、拉普拉斯變換在求解微分方程特解中的應(yīng)用、拉普拉斯變換在求解高階微分方程的推廣）與典型偏微分方程（齊次與非齊次偏微分方程、有界與無(wú)界問(wèn)題）中的應(yīng)用舉例；最后綜合比較、歸納總結(jié)拉普拉斯變換在求解微分方程中的優(yōu)勢(shì)以及局限性。關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換；拉普拉斯逆變換；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里葉變換和拉普拉斯變換是常用的積分變換，但對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)必須滿足狄里希利和在 內(nèi)絕對(duì)可積，但是在物理、無(wú)線電技術(shù)等????t實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間 為自變量的函數(shù)通常在 時(shí)不需要考慮或者沒(méi)有0t?意義，像這樣的函數(shù)不能取傅里葉變換。1 拉普拉斯變換以及性質(zhì) 拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有定義，而且積分 ( 是一個(gè)復(fù)參量)在 的()ft0?0)stfed???? s某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為 .我們稱(chēng)上式0()()stFsfe?????為函數(shù) 的 Laplace , 稱(chēng)為 的 Laplace 變()ft ()[]sLftft換（或稱(chēng)為象函數(shù)）.若 是 的 Laplace 變換，則稱(chēng) 為 的 Laplace 逆變換（或稱(chēng)()Fsft ()ftFs為象原函數(shù)） ，記為 [2].1()[()]LFs??Laplace 變換的存在定理忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2若函數(shù) 滿足下列條件:()ft在 的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；1?0?當(dāng) 時(shí)， 的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)2t???()ft及 ，使得 成立（滿足此條件的函數(shù)，稱(chēng)它的M?cc0Met????ｔ ，增大是不超過(guò)指數(shù)級(jí)的， 為它的增長(zhǎng)指數(shù)）. 則 的 Laplace 變換 在半平面 上一定存在，()ft 0()stFfed??（ s） =Re()sc?右端的積分在 的半平面內(nèi), 為解析函數(shù) [2].1Resc?? 拉普拉斯變換的性質(zhì)⑴線性性質(zhì) 若 是常數(shù)， , ,??， 11[()]LftFs?22[()]LftFs?則有 , 12[()t+ftf???.112()][(s)][()]Fs s???⑵微分性質(zhì) 若 ,則有 .[()]Lft?39。[()])()s?一般， .139。拉氏變換對(duì)照表列出了工程上常用的時(shí)間函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的拉氏變換，可以根據(jù)該表查找原函數(shù)的象函數(shù)，或者從象函數(shù)查找原函數(shù)。以下是本文將用到的幾種常用的拉普拉斯變換函數(shù)對(duì) [3]:表一：拉普拉斯變換函數(shù)表2 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟像其他方法求解微分方程一樣，應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程也有規(guī)范的步
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