【正文】 本論文從選題到完成，每一步都是在導師的細心指導下完成的，傾注了導師大量的忻州師范學院物理系本科畢業(yè)論文（設計）22心血。 ordinary differential equation。 結(jié)束語通過列舉拉普拉斯變換在求解微分方程中的應用，可以看出拉普拉斯變換是一種特別成功的數(shù)學方法，求解微分方程的步驟比較明確、規(guī)律性比較強、思路清晰且容易掌握。但微分方程的一般解法并沒有簡化；⑸用拉普拉斯變換方法求解微分方程，對方程的系數(shù)可變與否、對區(qū)域有界與否、對方程和邊界條件齊次與否并無特殊關(guān)系。但拉普拉斯變換像其他變換一樣都有其局限性，只有滿足其存在定理時才可以使用拉普拉斯變換。??10[uLs??由拉普拉斯變換函數(shù)表 ，21[]()2as atLerfcedt??????可知 .21[]()2xsa xatxLerfcdt??? ?????忻州師范學院物理系本科畢業(yè)論文（設計）19如果令 顯然 ,2)(2??detftax?????(0)f?由導數(shù)性質(zhì) 可知 ,)()]([39。21c?將邊界條件 代入上式，可得)(slx?? .)(21laslasec??因此 .21laslsec?從而 .11)( ))(())(, 43)34)()( 3salxlsxlassalxlsxls laslslal llxsllaxsseeeU???? ???????????為了求 的拉普拉斯逆變換，注意到分母為 所以逆變換 是周, ,14sl (,)uxt期為 的關(guān)于ｌ的周期函數(shù)。,3?為了確定常數(shù) c，將邊界條件 代入上式，可得20sx?.32s?所以， .3),(2ssxU??由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,1][1??L.][21xsL??由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,]![1nts?? ,]3[231y? .3][21ysL??方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為 .36)],([),( 221 xyxsULyxu??例：求解非齊次偏微分方程[2]?????????.0, ),0((,22xttutxgxua為 常 數(shù) ） ，解：對該問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換， ，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得),()],([sxUtuL, 202 Ustut ot??????,][sgL,)],([222dxtux???.0][0??xUuL忻州師范學院物理系本科畢業(yè)論文（設計）15這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題：?????????.0lim,10222Usgasdxs方程 可轉(zhuǎn)化為sgadx2221,122sgaUdx??解此微分方程，可得其通解為 其中,),(321ecxsas?為 常 數(shù) 。23 ????? srYyqyYpysysY結(jié)合初始條件，有 .0)(])([])([])([ 010202223 ??srsYsss整理可得 .)2123 ypyqprqspY ????對上式兩邊同時取拉普拉斯逆變換，可得 }].)(){(1[)]([ 202222311 ypsyqpsrqspsL ?????進行變量還原，便得到所求初值問題的解為 ).(),0(),( 00 xytyxyxy ???例：求解二階常系數(shù)線性齊次方程 ，該方程滿足初始條件39。 fsFtfL??高階導數(shù)推廣 可得，)0()()]([ 1239。39。139。下面給出利用拉普拉斯變換方法求解三階常系數(shù)線性齊次方程滿足在任意點的初始條件039。 ??解：設 令初始條件為零，)],([)(tLsY?對方程兩邊同時取拉普拉斯變換，有 ,42)(54(2???sYs令 ,54)(22???sDCsBAY,65)1(16)4( )14(214242 442 22??? ????? ????ss sss ss相應的拉普拉斯變換特解為 ),48(65)4(654)( 2222 ??? sssBAY對方程兩邊同時求反演，整理可得原微分方程的特解為 11221()[()][8](8coin).ytLYs xs????????? 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣對于 階常系數(shù)線性齊次微分方程 滿足以n()(1)39。39。39。xeyy239。239。??s?A若 ,011????snnas?忻州師范學院物理系本科畢業(yè)論文（設計）9則 ，?????? ????snnasaxYsA)(1)(?即相應的拉普拉斯變換特解為 ].)(1[)( ????? ?? snnassxY?對方程兩邊同時求反演，整理可得原微分方程的特解為 .([)(1YLty??例：求解常系數(shù)線性齊次方程 的特解。對于該方程的通解可用多種方法求特解，如：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、算子法等。39。39。所以，kx?物體運動的微分方程為 .0)(),0(39。 ?y亦即 ,0)()]0([2)()(39。 020,(),(),(tytyc? 為 常 數(shù) ）解：設 對方程兩邊同時取拉普拉斯變換，][)(yLsY?,][39。y2)1(?y,2039。2 ???Y整理展開成部分分式，有 ,)1())(239。 ??y所以，方程的解為 .sinh)(tty 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程例：求解常系數(shù)微分方程 [2].2)1(,0)(,239。 ????sy由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,][1tesL?? ,][1teL?? .][teL???對方程兩邊同時求反演，整理可得方程的解為 .sinh)0()(02)]([)( 39。0,(),1yy?解：設 對方程兩邊同時取拉普拉斯變換，有)],([)(ts,)0[39。43,(0)1tyey????解：設 對方程兩邊同時取拉普拉斯變換，有)],([)(tLsY?,239。接下來重點討論拉普拉斯變換在求解微分方程中的應用。拉氏變換對照表列出了工程上常用的時間函數(shù)及其對應的拉氏變換，可以根據(jù)該表查找原函數(shù)的象函數(shù)，或者從象函數(shù)查找原函數(shù)。1 拉普拉斯變換以及性質(zhì) 拉普拉斯變換的定義設函數(shù) 當 時有定義，而且積分 ( 是一個復參量)在 的()ft0?0)stfed???? s某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分所確定的函數(shù)可寫為 .我們稱上式0()()stFsfe?????為函數(shù) 的 Laplace , 稱為 的 Laplace 變()ft ()[]sLftft換（或稱為象函數(shù)）.若 是 的 Laplace 變換，則稱 為 的 Laplace 逆變換（或稱()Fsft ()ftFs為象原函數(shù)） ，記為 [2].1()[()]LFs??Laplace 變換的存在定理忻州師范學院物理系本科畢業(yè)論文（設計）2若函數(shù) 滿足下列條件:()ft在 的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；1?0?當 時，